(转)poj1182食物链
这题主要是看了http://blog.csdn.net/c0de4fun/article/details/7318642这篇解题报告，所以内容基本是转的！感谢大牛这么详细的把过程写的很清楚！
这道题目是经典的种类并查集，也可以说是带权值的并查集。
题目大意就是三种动物构成的食物链，他们是A->B->C->A,这样一个你吃我我吃你的环形。然后说了K句话，用于建并查集的树和判断真假。注意题目说的假话的情况是和前面的一些真话冲突是假的。也就是当前如果没有冲突则可以认为是真的了！
我们就用没有冲突的话建并查集，然后冲突的话就算做假话了！
这一题的难点在于每个动物和别的动物是有一个关系的，连接两个动物时，这个关系是作为权值记录下来的，最后建立的实际上是这N个动物我们已知的关系树！
我们先假设动物的关系： 0-同类， 1-X吃Y, 2-X被Y吃。 注意这三个关系不是随意选的。而是因为当D=1，D-1=0。 当D=2,D-1=1!!
然后接下来的难点和重点就是当压缩路径和合并树的时候关系的确定！
压缩路径时候，假设情况 X3->X2->X1->RX 这种情况(RX是根)
针对X2我们可以怎么做？ 假设X2->X1 relation=1 ; X1->RX relation=2, X2->RX的relation是什么？
通过枚举，观察我们发现 r(x2->rx)=(r(x2->x1)+r(x1->rx))%3 ： 就是这条路上的关系总和与3作取余。
通过这种方法就可以将路径压缩了。（注意在实际操作过程中，我们在递归中已经操作了，所以要压缩长度最长就是3个）
在合并过程中要小心关系值的更新和父节点更新的顺序(就是要先更新关系值，因为其与父节点的关系值还需要用到)
合并树的时候，假设情况 x->rx; y->ry的这种情况
我们要将y->ry合并到x那边，即需要计算ry->rx的关系值。而通过输入我们知道x与y的关系，那怎么得到需要的关系呢？
我们知道ry->y的关系值是(-relation(y->ry))%3, y->x已知，x->rx也已知
则根据同余定理我们有 relation(ry->rx)=(-relation(y->ry)+relation(y->x)+relation(x->rx))%3得到！
基本的问题都解决了，就可以着手写代码了：
为了方便以后看。。我就把大牛前面的解释也贴到我代码的前面了，再次表示感谢和敬佩！
/** Part I - 权值(relation)的确定。 我们根据题意，森林中有3种动物。A吃B，B吃C，C吃A。 我们还要使用并查集，那么，我们就以动物之间的关系来作为并查集每个节点的 权值。 注意，我们不知道所给的动物（题目说了，输入只给编号）所属的种类。 所以，我们可以用动物之间“相对”的关系来确定一个并查集。 0 - 这个节点与它的父节点是同类 1 - 这个节点被它的父节点吃 2 - 这个节点吃它的父节点。 注意，这个0,1,2所代表的意义不是随便制定的，我们看题目中的要求。 说话的时候，第一个数字（下文中，设为d）指定了后面两种动物的关系： 1 - X与Y同类 2 - X吃Y 我们注意到，当 d = 1的时候，( d - 1 ) = 0，也就是我们制定的意义 当 d = 2的时候，( d - 1 ) = 1，代表Y被X吃，也是我们指定的意义。 所以，这个0,1,2不是随便选的 Part II - 路径压缩，以及节点间关系确定 确定了权值之后，我们要确定有关的操作。 我们把所有的动物全初始化。 struct Animal { int num; //该节点（node）的编号 int parent; //该node的父亲 int relation; //该node与父节点的关系，0同类，1被父节点吃，2吃父节点 }; Animal ani[50010]; 初始化为 For i = 0 to N do ani[i].num = i; ani[i].parent = i; ani[i].relation = 0 ; //自己和自己是同类 End For (1)路径压缩时的节点算法 我们设A,B,C动物集合如下：（为了以后便于举例） A = { 1 , 2 , 3 ,4 ,5 } B = { 6 , 7 , 8 ,9 ,10} C = { 11, 12, 13,14,15} 假如我们已经有了一个集合，分别有3个元素 SET1 = {1,2}，我们规定集合中第一个元素为并查集的“代表” 假如现在有语句： 2 2 6 这是一句真话 2是6的父亲 ani[6].parent = 2; ani[6].relation = 1; 那么，6和1的关系如何呢？ ani[2].parent = 1; ani[2].relation = 0; 我们可以发现6与2的关系是 1. 通过穷举我们可以发现 ani[now].parent = ani[ani[now].parent].parent; ani[now].relation = ( ani[now].relation + ani[now.parent].relation ) % 3; 这个路径压缩算法是正确的 关于这个路径压缩算法，还有一点需要注意的地方，我们一会再谈 注意，根据当前节点的relation和当前节点父节点的relation推出 当前节点与其父节点的父节点的relation这个公式十分重要！！ 它推不出来下面都理解不了！！自己用穷举法推一下： 好吧，为了方便伸手党，我给出穷举过程 i j 爷爷 父亲 儿子 儿子与爷爷 0 0 (i + j)%3 = 0 0 1 (i + j)%3 = 1 0 2 (i + j)%3 = 2 1 0 (i + j)%3 = 1 1 1 (i + j)%3 = 2 1 2 (i + j)%3 = 0 2 0 (i + j)%3 = 2 2 1 (i + j)%3 = 0 2 2 (i + j)%3 = 1 嗯，这样可以看到，( 儿子relation + 父亲relation ) % 3 = 儿子对爷爷的relation 这就是路径压缩的节点算法 (2) 集合间关系的确定 在初始化的时候，我们看到，每个集合都是一个元素，就是他本身。 这时候，每个集合都是自洽的（集合中每个元素都不违反题目的规定） 注意，我们使用并查集的目的就是尽量的把路径压缩，使之高度尽量矮 假设我们已经有一个集合 set1 = {1,2,7,10} set2 = {11,4,8,13},每个编号所属的物种见上文 set3 = {12,5,4,9} 现在有一句话 2 13 2 这是一句真话,X = 13,Y = 2 我们要把这两个集合合并成一个集合。 直接 int a = findParent(ani[X]); int b = findParent(ani[Y]); ani[b].parent = a; 就是把Y所在集合的根节点的父亲设置成X所在集合的根节点。 但是，但是！！！！ Y所在集合的根结点与X所在集合的根节点的关系！！！要怎么确定呢？ 我们设X,Y集合都是路径压缩过的，高度只有2层 我们先给出计算的公式 ani[b].relation = ( 3 - ani[Y].relation + ( d - 1 ) + ani[X].relation) % 3; 这个公式，是分三部分，这么推出来的 第一部分，好理解的一部分： ( d - 1 ) :这是X和Y之间的relation，X是Y的父节点时，Y的relation就是这个 3 - ani[Y].relation = 根据Y与根节点的关系，逆推根节点与Y的关系 这部分也是穷举法推出来的，我们举例： j 子 父相对于子的relation（即假如子是父的父节点，那么父的relation应该是什么，因为父现在是根节点，所以父.relation = 0，我们只能根据父的子节点反推子跟父节点的关系） 0 ( 3 - 0 ) % 3 = 0 1（父吃子） ( 3 - 1 ) % 3 = 2 //父吃子 2（子吃父) ( 3 - 2 ) % 3 = 1 //子吃父，一样的哦亲 —————————————————————————————————————————————————————— 我们的过程是这样的： 把ani[Y]，先连接到ani[X]上，再把ani[Y]的根节点移动到ani[X]上，最后，把ani[Y]的根节点移动到ani[X]的根节点上，这样算relation的 还记得么，如果我们有一个集合，压缩路径的时候父子关系是这么确定的 ani[爷爷].relation = ( ani[父亲].relation + ani[儿子].relation ) % 3 我们已知道,( d - 1 )就是X与Y的relation了 而 (3 - ani[Y].relation)就是 以Y为根节点时，他的父亲的relation 那么 我们假设把Y接到X上，也就说，现在X是Y的父亲，Y原来的根节点现在是Y的儿子 Y的relation + ani[Y]根节点相对于ani[Y]的relation ( ( d - 1 ) + ( 3 - ani[Y].relation) ) % 3 就是ani[Y]的父亲节点与ani[X]的relation了！ 那么，不难得到，ani[Y]的根节点与ani[X]根节点的关系是： ( ( d - 1 ) + ( 3 - ani[Y].relation) + ani[X].relation ) % 3 ->应用了同余定理 注意，这个当所有集合都是初始化状态的时候也适用哦 还是以最开头我们给的三个集合（分别代表三个物种）为例 2 1 6 带入公式 ani[6].relation = ( ( 2 - 1 ) + ( 3 - 0 ) + 0 ) % 3 = 1 也就是，6被1吃 Part III - 算法正确性的证明 首先，两个自洽的集合，合并以后仍然是自洽的 这个不难想吧，数学上有个什么对称性定理跟他很像的。 如果理解不了，就这么想！！ 当set1和set2合并之后，set2的根节点得到了自己关于set1根节点的 正确relation值，变成了set1根节点的儿子，那么 set2的所有儿子只要用 ( ani[X].relation + ani[Y].relation ) % 3就能得到自己正确的relation值了 所以说，针对不在同一集合的两个元素的话，除非违背了（2）和（3），否则永远是真的 （无论这句话说的是什么，我们都可以根据所给X,Y推出两个子节点之间应有的关系，这个关系一确定，所有儿子的关系都可以确定） 其实所有的不同集合到最后都会被合并成一个集合的。 我们只要在一个集合中找那些假话就可以了。 首先，如何判断 1 X Y是不是假话。//此时 d = 1 if ( X 和 Y 不在同一集合) Union(x,y,xroot,yroot,d) else if x.relation != y.relation ->假话 其次，如何判断 2 X Y是不是假话 //此时d = 2 if ( X 和 Y 不在同一集合） Union(x,y,xroot,yroot,d) else (ani[y].relation + 3 - ani[x].relation ) % 3 != 1 ->假话 这个公式是这么来的： 3 - ani[x].relation得到了根节点关于x的relation ani[y] + 3 - ani[x].relation得到了y关于x的relation 所以，只要y关于x的relation不是1，就是y不被x吃的话，这句话肯定是假话！ (2)路径压缩要特别注意的一点（错在这里，要检讨自己） 路径压缩的时候，记得要 先findParent，再给当前节点的relation赋值。 否则有可能因为当前节点的父节点的relation不正确而导致错的稀里哗啦。 例子： set1 = {1,2,7,10} set2 = {3,4,8,11} set3 = {12,5,14,9} Union(1,3,1,3,1) Union(3,12,3,12,2) 1 5 1 算5的relation 如果不先更新parent的relation，算出来应该是 ( 3 - 0 + 0 + 1 ) % 3 = 1，5被1吃，显然不对 这里面，+ 0的那个0是指根节点 12 的relation（未更新，这里的0是指12与11的relation） 如果更新完了的话，应该是 ( 3 - 0 + 2 + 1 ) % 3 = 0 ,5与1是同一物种，对了 这里面的 2 是更新节点12的relation（12与1的relation） 后记： 关于这道题，我在网上搜索了许多解题报告，但是都闪烁其词，大概大家都不想 把自己辛辛苦苦推出来的公式写到网上供别人学习来节省时间吧。 我觉得这么做不好，对初学者容易产生不良影响，ACM如果只是一个小众化的圈子，那 岂不是太没意思了。 于是我就把我自己总结的这道题的经验放了出来，希望可以帮得到大家 自己总结的，对错也不知道，但是起码是“自洽”的，^ ^ 感谢那篇博文的博主，也感谢gzm,lqy两位学长的指导。 c0de4fun */ #include<iostream> using namespace std; int father[50001]; int relation[50001]; int Get_Set(int x) { int root; if(x!=father[x]){ //注意下面的赋值顺序！ root=Get_Set(father[x]); relation[x]=(relation[x]+relation[father[x]])%3; father[x]=root; return root; } else return x; } void Union(int X,int Y,int D) { int rY=Get_Set(Y); father[rY]=Get_Set(X); relation[rY]=(3-relation[Y]+D-1+relation[X])%3; } int main() { int N,K,D,X,Y,i,j,k,count=0; scanf("%d%d",&N,&K); //relation 表示此点和父节点的关系 0--是同类，1--父吃子，2--子吃父 for(i=1;i<=N;i++) { father[i]=i; relation[i]=0; } for(i=1;i<=K;i++) { scanf("%d%d%d",&D,&X,&Y); if(X>N||Y>N) { count++; continue; } if(D==2&&X==Y) { count++; continue; } if(Get_Set(X)!=Get_Set(Y)) Union(X,Y,D); else{ if((3-relation[X]+relation[Y])%3!=(D-1)) count++; } } cout<<count<<endl; return 0; }
