算法分析课程笔记（二）

递推关系式的一般式的求解

一、线性齐次递推式的求解

形如 f(n)=a₁f(n-1)+....+a_kf(n-k)的递推式(注意没有常数项)称为齐次递推式

我们只考虑1阶和2阶的情况：

一阶 f(n)=af(n-1),则递推式为 f(n)=af(n-1)=a²f(n-2)...=aⁿf(0)

二阶 f(n)=a₁f(n-1)+a₂f(n-2), 则特征方程变为 x²-a₁x-a₂, 令方程的根为r1,r2,则递推式的解为

f(n)=c1r1^n+c2r2^n if r1!=r2    OR   f(n)=c1r^n+c2*n*r^n   if r1==r2

*这个可以推Fibonacci数列的表达式！

二、非齐次递推式的求解

主要将考虑三种形式的非齐次的递推式

形式1： f(n)=f(n-1)+g(n)   解为 f(n)=f(0)+Σ{i=1~n}g(i)

形式2:   f(n)=g(n)f(n-1) n>=1   解为 f(n)=g(n)g(n-1)....g(1)f(0)  

形式3： f(n)=g(n)f(n-1)+h(n) n>=1

其解法是特殊的：  定义一个新函数 f'(n),令 f(n)=g(n)g(n-1)...g(1)f'(n), n>=1;  f'(0)=f(0)

则 可得到 f(n-1)与f'(n-1)的关系，带入形式3得到 g(n)....g(1)f'(n)=g(n){g(n-1)...g(1)f'(n-1)}+h(n)

即  f'(n)=f'(n-1)+h(n)/{g(n).....g(1)};   f'(n)=f'(0)+SIGMA{i=1~n}(h(i)/g(i)....g(1));

最终得到 f(n)=g(n)....g(1){f(0)+SIGMA{i=1~n}(h(i)/g(i)....g(1))};

 

Master Theorem(非常重要的定理，由递推关系式得到此函数的复杂度)  (这个在算法导论中也有介绍)：

Let a>=1, c>1 be constants, f(n) be a function, T(n) be defined on the negative integers by the recurrence

T(n)=aT(n/c)+f(n)  where we intepret n/c to mean either ceil(n/c) or floor(n/c). Then

1) If f(n)=O(n^(log_ca-ε)) for some ε>0, then T(n)=Θ(n^log_ca)

2) If f(n)=Θ(n^log_ca), then T(n)=Θ(n^log_ca)logn

3) If f(n)=Ω(n^(log_ca+ε)) for some ε>0 and if a*f(n/c)≤kf(n) for some constant k<1 and all sufficiently large n, then T(n)=Θ(f(n))

!!注意 这三种情况并不是完全覆盖，也就是存在这个定理无法分析的情况!!

Exercise: (1) T(n)=9T(n/3)+n    (2) T(n)=3T(n/4)+nlogn   (3) T(n)=T(2n/3)+1     (4)  T(n)=2T(n/2)+nlogn