最小生成树MST（Minimum Spanning Tree)-普里姆(Prim)算法
图的定义时 我们规定一个连通图的生成树是一个极小连通子图 含有N个顶点N-1个边 我们把图中带权的边 最小代价生成的树成为最小生成树。
普里姆(Prim)算法 prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关以顶点找顶点 考虑权值
存储方式为邻接矩阵
基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。
此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
注意：prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，
为了更好理解我们在这里举一个例子，示例如下：
（1）图中有6个顶点v1-v6，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我先随意选择一个顶点作为起始点，当然我们一般选择v1作为起始点，好，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边，现在状态如下：
U={v1}； TE={}；
（2）现在查找一个顶点在U集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1，那么将v3加入到U集合，（v1，v3）加入到TE，状态如下：
U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；
（3）继续寻找，现在状态为U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；在与红线相交的边上查找最小值。
我们可以找到最小的权值为（v3，v6）=4，那么我们将v6加入到U集合，并将最小边加入到TE集合，那么加入后状态如下：
U={v1，v3，v6}； TE={（v1，v3），（v3，v6）}； 如此循环一下直到找到所有顶点为止。
（4）下图像我们展示了全部的查找过程：
#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
#define MAX 100
#define MAXCOST 65535
int graph[MAX][MAX];
int Prim(int graph[][MAX], int m)//m 是点数
{
int lowcost[m];
int mst[m];
int i, j, min, k, sum = 0;
mst[1] = 0;
lowcost[1]=0;
for (i = 2; i <= m; i++)
{
lowcost[i] = graph[1][i];
mst[i] = 1;
}
for (i = 2; i <= m; i++)
{
min = MAXCOST;
k = 0;
for (j = 2; j <= m; j++)
{
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
{
min = lowcost[j];
k = j;//找到最小值下标
}
}
cout << "V" << mst[k] << "-V" << k << "=" << min << endl;
sum += min;
lowcost[k] = 0;//到达k的距离为0 说明这个顶点完成了任务
for (j = 2; j <= m; j++) // 更新lowcost 数组
{
if (lowcost[j] != 0 && graph[k][j] < lowcost[j])
{
lowcost[j] = graph[k][j];/本来到达不了 由于k的引入 可以到达了
mst[j] = k; //这是不能总是从V1开始去别的点 把 现在能找到的近距离类似 mst[k]
}
}
}
return sum;
}
int main()
{
int i, j, k, m, n;
int cost;
cout<<"please input V and E:";
cin >> m >> n;//m=顶点的个数，n=边的个数
//初始化图G
for (i = 1; i <= m; i++)
{
for (j = 1; j <= m; j++)
{
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}
//构建图G
cout<<"please intput i j and cost:"<<endl;
for (k = 1; k <= n; k++)
{
cin >> i >> j >> cost;
graph[i][j] = cost;
graph[j][i] = cost;
}
//求解最小生成树
cost = Prim(graph, m);
//输出最小权值和
cout << "最小权值和=" << cost << endl;
return 0;
}
测试数据 V E
6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6
结果
V1-V3=1
V3-V6=4
V6-V4=2
V3-V2=5
V2-V5=3
最小权值和=15
请按任意键继续. . .
