004.寻找两个有序数组的中位数
There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
Example 1:
nums1 = [1, 3] nums2 = [2]
The median is 2.0
Example 2:
nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2 。
请找出这两个有序数组的中位数。要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n)) 。
1.自己的想法是 一共m + n 个，我们可以新建一个List 然后每把最小的数放进去，代码如下：
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
"""
:type nums1: List[int]
:type nums2: List[int]
:rtype: float
"""
leng = len(nums1) + len(nums2)
tmpLen = leng//2 + 1
newList = [0]*tmpLen
i = 0
j = 0
for k in range(tmpLen):
if i == len(nums1):
newList[k] = nums2[j]
j += 1
elif j == len(nums2):
newList[k] = nums1[i]
i += 1
else:
if nums1[i] < nums2[j]:
newList[k] = nums1[i]
i += 1
else:
newList[k] = nums2[j]
j += 1
if leng %2 == 0:
return (newList[tmpLen - 2] + newList[tmpLen - 1])/2
else:
return newList[tmpLen - 1]2.类似与折半查找的思路，
由于题目要求的时间复杂度是（log（m+n))，如果我们直接把两个数组整合一起，那么时间复杂度肯定超过（log（m+n））。所以整理肯定是不行的。那么还有什么方法吗？答案是肯定的。
首先我们要先了解中位数的概念，中位数就是有序数组的中间那个数。那么如果我们将比中位数小的数和比中位数大的数去掉同样的个数，中位数的值也不会变化（数组的个数为偶数的时候另外讨论，因为那时候中位数是中间两个数的平均值，所以中位数旁边两个数不能去掉）。
所以我们不妨试着将数组长度不断缩短。这里不妨提出一个引理。假设有两个有序数组am，bn，他们整合后的有序数组为cn+m。他们的中位数分别是Am/2,Bn/2,C(m+n)/2。如果Am/2 < Bn/2,则 A0…m/2 <= C(m+n)/2 <= Bn/2…n 。
引理证明：
假设 Am/2 > C(m+n)/2 ，那么 Bn/2 > C(m+n)/2，所以在数组Am里有大于m/2个数大于C(m+n)/2，在数组Bn里也有n/2个数大于C(m+n)/2
也就是说在Cn+m里有（m+n）/2个数大于C(m+n)/2，此时就C(m+n)/2不再是数组Cn+m的中位数。
所以A0…m/2 <= C(m+n)/2。
同理可得C(m+n)/2 <= Cn/2…n 。
根据上述引理，我们不妨设m>n，那么我们根据判断两个数组的中位数大小，每个数组每次减少n/2长度，直到n为1。如此，我们通过减少log（n）次可以得到答案。这种方法的时间复杂度是（log（min（m,n）））。
class Solution:
def getMedian(self,nums):
size = len(nums)
if size == 0:
return [0,0]
if size % 2 == 1:
return [nums[size//2],size//2]
else:
return [(nums[size//2 - 1] + nums[size//2])/2,size//2]
def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
"""
:type nums1: List[int]
:type nums2: List[int]
:rtype: float
"""
size1 = len(nums1) # ig longer
size2 = len(nums2)
if size1 < size2:
return self.findMedianSortedArrays(nums2,nums1)
m1 = self.getMedian(nums1)
m2 = self.getMedian(nums2)
if size2 == 0:
return m1[0]
if size2 == 1:
if size1 == 1:
return (m1[0] + m2[0])/2
if size1 % 2 == 0:
if nums2[0] < nums1[size1//2 - 1]:
return nums1[size1//2 -1]
if nums2[0] > nums1[size1//2]:
return nums1[size1//2]
else:
return nums2[0]
else:
if nums2[0] < nums1[size1//2 - 1]:
return (nums1[size1//2 - 1] + nums1[size1//2])/2
if nums2[0] > nums1[size1//2 + 1]:
return (nums1[size1//2 + 1] + nums1[size1//2])/2
else:
return (nums2[0] + nums1[size1//2])/2
if size1 % 2 == 0:
if size2 % 2 == 0:
if nums1[size1//2 - 1] > nums2[size2//2 - 1] and nums2[size2//2] > nums1[size1//2]:
return m1[0]
if nums1[size1//2 - 1] < nums2[size2//2 - 1] and nums2[size2//2] < nums1[size1//2]:
return m2[0]
if m1[0] < m2[0]:
return self.findMedianSortedArrays(nums1[m2[1]:],nums2[:size2 - m2[1]])
if m1[0] > m2[0]:
return self.findMedianSortedArrays(nums1[:size1 - m2[1]],nums2[m2[1]:])
else:
return m1[0]
