桶排序(bucket sort)之基数排序

简单理解

桶排序是通过使用不同的桶容器来容纳序列中的数，然后再按桶的顺序进行收集，以实现有序的序列。而基数排序则是使用十个桶容器将一个待排序的序列排序。其中十个桶的大小是可以根据需要进行改变的，分别代表0-9十个数字，用来容纳每一趟排序中的相应位置上的数。

核心算法思想描述

以序列97、3、100、77从小到大排序为例。

1、对序列中的每个值，根据值的个位的数字，将其放到相应的桶中。例如，97放在数字'7'这个桶中，3放在数字'3'这个桶中，100放在数字'0'这个桶中，77放在数字'7'这个桶中。这个过程被称为“分布过程”。

分布后各桶的数据如图：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
100	null	3	null	null	null	null	97	null	null
null	null	null	null	null	null	null	77	null	null
2、对各个桶进行遍历，并把其中的数字按照从桶'0'到桶'9'的顺序依次取出收集到序列中。这个过程被称为“收集过程”。
收集后序列如下：100、3、97、77，可见个位数已经有序。

3、随后对十位和百位依次重复这两个过程，过程示意如下：

对十位分布：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
100	null	null	null	null	null	77	null	null	97
3	null	null	null	null	null	null	null	null	null
对十位收集：100、3、77、97。

对百位分布：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	100	null	null	null	null	null	null	null	null
77	null	null	null	null	null	null	null	null	null
97	null	null	null	null	null	null	null	null	null
对百位收集：3、77、97、100。

算法性能分析

• 空间效率：一趟排序需要的辅助存储空间为r（r个容器），但以后的排序中重复使用这些容器，所以基数排序的空间复杂度为\(O(r)\)。
• 时间效率：基数排序需要进行d趟分配和收集，一趟分配需要\(O(n)\)，一趟收集需要\(O(r)\)，所以基数排序的时间复杂度为\(O(d(n + r))\)，它与序列的初始状态无关。
• 稳定性：基数排序能够保持相对顺序，是稳定的。

C++实现

考虑到桶排序中各个桶的大小是不确定的，在每一趟排序的过程中大小可能产生变化，故我们使用vector实现各个桶，并用array将十个由vector实现的桶整合在一起。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <array>
using namespace std;

void bucketSort(int a[], int n) {
    array<vector<int>, 10> buckets;

    // 确定最大数的位数，最多的位数决定需要进行多少趟桶排序
    int max = a[0];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (max < a[i])
            max = a[i];
    int times = 0;
    while (max) {
        ++times;
        max /= 10;
    }

    // 进行桶排序
    int div = 10;
    for (int time = 0; time < times; ++time) {
        // 数字分散于桶中
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            buckets[a[i] % div / (div / 10)].push_back(a[i]);   // 取相应位置上的数字

        // 收集桶中的数据并清空桶
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < 10; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < buckets[i].size(); ++j)
                a[cnt++] = buckets[i][j];
            buckets[i].clear();
        }
        div *= 10;
    }
}

int main() {
    const int SIZE = 20;
    int a[SIZE] = { 0 };
    for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
        a[i] = rand() % 1000;
        cout << a[i] << " ";
    }
    cout << "\n\n";

    bucketSort(a, SIZE);

    for (auto elem : a)
        cout << elem << " ";

    return 0;
}