牛顿迭代法求解

何为牛顿迭代法

牛顿迭代法又称为牛顿-拉弗森方法，是牛顿在17世纪提出的一种在实数和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法的操作简单来说就是通过不断取切线，然后通过切线再不断逼近相应的解，废话不多说，我们来看例子。
例如如下曲线 \(y=x^2-1\)。

我们在其上面任取一点，不妨取点\(A(2，3)\)，以该点做切线，切线方程为 \(y=4x-5\)，在图中将该切线加上可得如下图：

然后取其与x轴的交点\(B(1.25, 0)\)，可见，第一次做切线取到的根已经开始接近原曲线的其中一个根，继续以该点做垂线，交原曲线与点\(C(1.25,0.5625)\)，如图：

以点\(C(1.25,0.5625)\)再一次做原曲线的切线，该切线交x轴于点\(D(1.025, 0)\)，如下图，可见，相较于点 \(B\),和原曲线与x轴的交点\(E(1, 0)\)进一步接近。
同理，接下来继续迭代，则通过不断做切线，切线与x轴取交点，取到的近似解会与其真实解越来越接近。

宏观图

微观图

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迭代公式

通过上面的推导，我们很容易能够看出，所谓牛顿迭代法，就是不断利用切线对其解不断逼近，那么我们就需要一次次求切线，切线的求法如下：

设曲线方程为 \(y=f(x)\)，可知其斜率为 \(y'=f'(x)\)，任意取一点 \((x_0, y_0)\) ，则该点处的切线方程为 \(y - f(x_0) = f'(x_0) * (x - x_0)\)，然后取切线与x轴的交点，故令 \(y_1 = 0\)，代入解得 \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)} { f'(x_0)}\)，\(x_1\)是在\(x_0\)的基础上推出来的下一个逼近的根，同理，在此迭代公式的基础上继续迭代即可，直到所要求的的精度达到要求。

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C++编程实例

（1）使用牛顿迭代法求解x^3 + 2x^2 + 3x + 4 = 0在1附近的根。

（2）使用牛顿迭代法求三次根号的解

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

/*
    使用牛顿迭代法求解x^3 + 2x^2 + 3x + 4 = 0在1附近的根
*/
double fun(double x1) {
    double x2 = 0;          // 第二次取近似根的值，不为1的任意值都可以
    double acc = 10e-5;     // 精度
    while (fabs(x1 - x2) > acc) {   // 对比两次根的跨度，看是否收敛
	x2 = x1;
	x1 = x1 - (x1 * x1 * x1 + 2 * x1 * x1 + 3 * x1 + 4)
               / (3 * x1 * x1 + 4 * x1 + 3);   // 牛顿迭代法迭代
    }
    return x1;
}

/*
    使用牛顿迭代法求三次根号的解 -> y = x^3 -> x^3 - y = 0 求解x
    即求 f(x) = x^3 - a 的零点，其中a为待求三次根号的数
*/
double cubeRoot(double x)                   // 牛顿迭代法  f(x[n]) + f'(x[n])(x - x[n]) = 0
{                                           //           ->f(x[n]) + f'(x[n])(x[n+1] - x[n]) = 0
    double yn = 1, yp = x;
    double acc = 10e-5;
    while (fabs(yp - yn) > acc)
    {
        yn = yp;
        yp = yp - (yp * yp * yp - x) / (3 * yp * yp);
    }
    return yp;
}

int main() {
    cout << fixed << setprecision(10);
    cout << cubeRoot(3) << endl;
    cout << fun(1) << endl;

    return 0;
}