杨辉三角与组合数

知识点：

组合数与杨辉三角的关系

题目：《上学路线》 中石油oj

题目描述

小D从家到学校的道路结构是这样的：由n条东西走向和m条南北走向的道路构成了一个n*m的网格，每条道路都是单向通行的（只能从北向南，从西向东走）。
已知小D的家在网格的左上角，学校在网格的右下角。
 
问小D从他的家到学校一共有多少种不同的上学路线。

输入

两个正整数n和m，意义如题目所述。

输出

小D上学路线数量，结果队1000000007取余。

样例输入

复制样例数据

3 4

样例输出

10

提示

100%的数据，n,m≤1000

思路详解：

从（1,1）走到（n,m）需要向下走（记为D）n-1次，向右走（记为R）m-1次，总共走m+n-2次；这就转化为了长度为n+m-2的序列，含有n-1个D，m-1个R的组合方式有多少种？即求C_n+m-2^n-1的值mod1000000007的值；

杨辉三角求组合数代码如下：

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[2005][2005];
int main(){
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<=n+m-2;i++){
        a[i][0]=a[i][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n+m-2;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            a[i][j]=(a[i-1][j-1]+a[i-1][j])%1000000007;
        }
    }
    cout<<a[n+m-2][n-1]<<endl;;
return 0;
}

 

 

除了可以用组合数来求，也可以使用dp列举所有情况；

递推公式为：dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j ]+dp[ i ][ j-1 ];

dp代码如下：

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[1005][1005];
int main(){
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        dp[1][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[i][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=2;j<=m;j++){
            dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])%1000000007;
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
return 0;
}

 总结：做这道题时只想到了dp，没有往组合数上去想，看了别人的题解才知道，这就是高中的一道求组合数问题。

　　　　　　蒟蒻一枚，要学的还有很多。