P7906 [Ynoi2005] rpxleqxq 题解

P7906 [Ynoi2005] rpxleqxq 题解

题目大意#

给定一个长度为 $n$ 的序列 $A$，和一个常数 $k$。

有 $m$ 次询问，每次给定一个区间 $[l,r]$，询问有多少二元组 $(i,j)$，满足：

• $1\leq i < j\leq n$；
• $(A_i\oplus A_j)\leq k$。

Solve#

前置知识：莫队二次离线。

对于普通莫队，端点移动时，例如右端点从 $r-1$ 移动到 $r$，对答案的贡献为 $[l,r)$ 内和 $r$ 的异或和小于等于 $k$ 的元素 $A_i$ 的个数。对于这个的维护，一种想法是，枚举 $A_r\oplus A_i$ 是在哪一位上和 $k$ 决出来谁小，这样就确定了合法 $A_i$ 二进制表示下的一个前缀，剩下的位随便填。可以使用 01 trie 维护前缀出现次数，做到插入和查询复杂度都是 $O(\log_2V)$。

然后考虑二离，维护 $f(i)$ 为 $i$ 左边和它异或和小于等于 $k$ 的元素个数。可以沿用 01 trie，复杂度是 $O(n\sqrt V\log_2 V+n\sqrt m)$。

理一下思路。二离之后，我们有 $n$ 次插入和 $n\sqrt m$ 次查询。使用 01 trie 的话，可以做到插入和查询复杂度都是 $O(\log_2 V)$。所以我们考虑平衡一下插入和查询的复杂度，使得查询做到 $O(1)$。

可以在插入 $x$ 时还是枚举决胜位 $i$，那么对于一个能对其产生贡献的 $y$，它的 $i\sim T$ 位都是确定的，其中 $T=\log_2 V$。而 $0\sim i-1$ 位可以任意填，即从 $y\in[0,2^{i-1}-1]$，是一个区间加操作。也就是说，我们需要在值域上维护一个数据结构，支持区间加和单点查，要求单点查复杂度是 $O(1)$。分块维护即可。这样的话，若块长 $B=\sqrt V$，我们就得到了一个 $O(nT\sqrt V+n\sqrt m)$ 的算法。理论约 $2\times 10^9$。

写完之后手搓极限数据，本地只跑了 $1$ 秒。交上去发现获得了谷的最优解。

复杂度还是不够优秀，理论不是很对。调整一下块长。考虑我插入一个数时，在值域上修改的若干区间都是不交的，所以对于整块的修改复杂度最坏就是 $V\over B$ 的，而对于散块，修改复杂度是 $TB$；单次总复杂度是 ${V\over B}+TB$，当 $B=\sqrt {V\over T}$ 时取得最小值，为 $\sqrt{TV}$。

这样，算法整体复杂度就来到了 $O(n\sqrt {V\log_2 V}+n\sqrt m)$。又交了一发，快了一点。

Code#

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const int N=2e5+10,B=200,T=105,V=2e5;
int w[N],sum[N],p[N],l[N],r[N];
inline void modify(const int &x,const int &y)//给 x ~ y 区间加一
{
	if(x>y)	return;
	int u=p[x],v=p[y];
	if(u==v)
	{
		for(int i=x;i<=y;i=-~i)	w[i]=-~w[i];
		return;
	}
	for(int i=x;i<=r[u];i=-~i)	w[i]=-~w[i];
	for(int i=-~u;i<v;i=-~i)	sum[i]=-~sum[i];
	for(int i=l[v];i<=y;i=-~i)	w[i]=-~w[i];
}
inline void get_block()
{
	int R=V/T+(V%T!=0);
	for(int i=1;i<=R;i=-~i)
	{
		l[i]=-~r[i-1];r[i]=i==R?V:r[i-1]+T;
		for(int j=l[i];j<=r[i];j=-~j)	p[j]=i;
	}
}
inline void insert(const int &x)
{
	for(int i=17,p=0,a,b,now=0;~i;i=~-i)
	{
		a=x>>i&1;b=k>>i&1;
		if(b)	modify(now|(a<<i),min(now|(a<<i)|(1<<i)-1,V));
		now|=(a^b)<<i;
	}
	if((x^k)<=V)	w[x^k]=-~w[x^k];
}
inline int query(const int &x){return w[x]+sum[p[x]];}

剩下的就是莫二离板子。