ABC366F Maximum Composition 题解

ABC366F Maximum Composition 题解

题目大意#

给定 $N$ 个一次函数 $f_i(x)=a_ix+b_i$，从中选出 $K$ 个函数 $f_{p_1},f_{p_2},\dots,f_{p_K}$，使得 $f_{p_1}(f_{p_2}(\dots f_{p_K}))$ 最大，求最大值。

Solve#

考虑这样一种情况：我已经选定 $p_{k+1},p_{k+1},\dots,p_K$，现在要去选 $p_k$ 和 $p_{k-1}$，那么对于候选的 $i,j$，怎么选更优？

令 $T=f_{p_{k+1}}(f_{p_{k+2}}(\dots f_{p_K})$。那么选 $p_k=i$ 更优当且仅当

$$\begin{align} a_j(a_iT+b_i)+b_j&>a_i(a_jT+b_j)+b_i\\ \iff a_jb_i+b_j&>a_ib_j+b_i\\ \iff (a_j-1)b_i&>(a_i-1)b_j \end{align}$$

故我们贪心地按 $(a_j-1)b_i>(a_i-1)b_j$ 的规则将 $f$ 排序，即可确定嵌套的先后顺序，排在前面的嵌套时更靠里。

既然我们已经知道了先后顺序，求最值可以 dp 求解。

设 $g_{i,j}$ 表示仅从前 $j$ 个函数里选， $f_{p_i}(f_{p_{i+1}}(\dots f_{p_K}))$ 的最大值。则有 $g_{i,j}=\max(g_{i,j-1},a_j\cdot g_{i-1,j-1}+b_j)$。

Code#

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
const int N=2e5+10,K=15;
int n,m,tot;
long long f[K];
struct zzn{int a,b;}a[N];
bool cmpp(zzn x,zzn y){return x.b*(y.a-1)>y.b*(x.a-1);}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;i=-~i)	a[i]={read(),read()};
	sort(a+1,a+n+1,cmpp);
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i=-~i)
		for(int j=m;j;j--)
			f[j]=max(f[j],f[j-1]*a[i].a+a[i].b);
	return printf("%lld",f[m]),0;
}