ABC365E Xor Sigma Problem 题解

ABC365E Xor Sigma Problem 题解

题目大意#

给定长度为 $n$ 的序列 $A$，求 $\displaystyle \sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^N (A_i \oplus A_{i+1}\oplus \ldots \oplus A_j)$。

Solve#

看到异或不难想到按位枚举，按位枚举时维护什么信息呢？

考虑对于序列 $A$，我们倒序枚举，那么在加入 $A_i$ 之前得到的区间异或和之和形如：

$$(A_{i+1}\oplus A_{i+2}\oplus \dots\oplus A_n)+(A_{i+1}\oplus A_{i+2}\oplus \dots\oplus A_{n-1})+\dots+(A_{i+1}\oplus A_{i+2})$$

加入 $A_i$ 后，这个表达式的每个括号里都要异或上 $A_i$。那么从结果上看，若 $A_i$ 的第 $j$ 位是 $1$，则异或和的第 $j$ 位就要反转。

故我们考虑维护如下信息：对于第 $i$ 位，$cnt_{i,1}$ 表示有多少段异或和（上式中每一个括号内的值）这一位是 $1$，$cnt_{i,0}$ 表示有多少段异或和这一位是 $0$。统计答案时直接加上 $2^i\times cnt_{i,1}$ 即可。

加入 $A_i$ 后，按位扫一遍，如果 $A_i$ 第 $j$ 位是 $1$，就交换 $cnt_{j,0}$ 和 $cnt_{j,1}$。同时别忘了，加入 $A_{i-1}$ 时多了一段 $A_{i-1}\oplus A_i$，故我们还要让 $cnt_{j,A_{i,j}}$ 加上 $1$ 方便后面统计答案。

Code#

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
const int N=2e5+10;
int n,a[N],ans,cnt[35][2];
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i=-~i)	a[i]=read();
	for(int i=n;i;i--)
	{
		for(int j=30;j>=0;j--)
			ans+=cnt[j][(a[i]>>j&1)^1]*(1<<j);
		for(int j=30;j>=0;j--)
		{
			if(a[i]>>j&1)	swap(cnt[j][1],cnt[j][0]);
			cnt[j][a[i]>>j&1]++;
		}
	}
	return printf("%lld",ans),0;
}