ABC348E Minimize Sum of Distances 题解

ABC348E Minimize Sum of Distances

题目大意#

给定一棵共 $n$ 个节点的树， 第 $i$ 个点的权重为 $c_i$。定义 $f(x)$ 表示树上所有点到节点 $x$ 的距离乘上权重，即 $f(x)=\sum\limits_{i=1}^n(c_i\times dis(x, i))$。求 $\min\limits_{u=1}^nf(u)$。

Solve#

一眼换根。

考虑先以节点 $1$ 为根，则 $f(1)=\sum\limits_{i=1}^n(c_i\times d_i)$，（$d_i$ 表示 $i$ 的深度）。然后考虑换根求 $f(u),u\in[2,n]$。

如图，以 $u=2$ 时为例。记 $sum_u$ 为当以 $1$ 为根时 $u$ 的子树内的点的权值和。当根从 $fa_2=1$ 转移至 $2$ 时，对于在 $2$ 的子树里的节点，他们的深度都减少了 $1$，那么 $\sum\limits_{i\in son_2}(c_i\times d_i)$ 就总共减少了 $sum_u$；对于不在 $2$ 的子树里的点，他们的深度都增加了 $1$，共增加 $sum_1-sum_u$。整理一下并推广至所有 $u\in [2,n]$，有： $f(u)=f(fa_u)-sum_u+sum_1-sum_u$。

Code#

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#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(1,2,3,"Ofast","inline")
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
int n,a,b,c[100010],f[100010],ans;
vector<int>e[100010];
void dfs(int u,int fa,int d)
{
	f[1]+=d*c[u];
	for(auto i:e[u])
		if(i!=fa)	dfs(i,u,-~d),c[u]+=c[i];
}
void dp(int u,int fa)
{
	for(auto i:e[u])
		if(i!=fa)	f[i]=f[u]-c[i]+c[1]-c[i],dp(i,u);
}
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i=-~i)
		a=read(),b=read(),
		e[a].push_back(b),e[b].push_back(a);
	for(int i=1;i<=n;i=-~i)	c[i]=read();
	dfs(1,0,0);ans=f[1];dp(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i=-~i)	ans=min(ans,f[i]);
	return printf("%lld",ans),0;
}