UVA557 Burger 题解

UVA557 Burger

题目大意#

称一个长度为 $n$ 的01串是好的，当且仅当 $0$ 和 $1$ 在该串中分别出现恰好 $\frac n2$ 次，且该串的最后两位相同。

现给定 $n$（$n$ 为偶数），求 该串是好的 的概率。

Solve#

正难则反，考虑求出最后两位不同的概率。

令 $m=\frac n2$，那么条件“最后两位不同”等价于前 $2m-2$ 位中，有 $m-1$ 个 $0$ 和 $1$。

显然该串满足此条件的概率是：

$$P_n=\frac{{2m-2}\choose{m-1}}{2^{2m-2}}=\frac{{n-2}\choose{\frac n2-1}}{2^{n-2}}$$

即从前 $2m-2$ 位中选出 $m-1$ 位令其为 $0$ 的方案数除以总方案数。而每一位上是 $0$ 或 $1$ 有两种选择，所以共有 $2^{2m-2}$ 种方案。

所以最后的答案就是 $1-P$ 了。

然后考虑怎么求组合数，显然不能利用递推求，时间和空间上都过不去，而用阶乘和逆元的话，我不会。

考虑手推个递推式，因为我们发现只需求 $2i\choose i$，显然不难推。

$$\begin{align} {2i\choose i}&=\frac{(2i)!}{i!\times i!}=\frac{2i\times(2i-1)\times\dots\times(i+1)}{i!}\\\\ {2i-2\choose i-1}&=\frac{(2i-2)!}{(i-1)!\times (i-1)!}\\ &=\frac{(2i-2)\times(2i-1)\times\dots\times i}{(i-1)!}\\\\ \frac{2i\choose i}{2i-2\choose i-1}&=\frac{2i\times(2i-1)}{i\times i}=\frac{2(2i-1)}i\\ \iff{2i\choose i}&=\frac{2(2i-1)}i{2i-2\choose i-1}\\ 即:\\ {i\choose\frac i2}&=\frac{2(i-1)}{\frac i2}{i-2\choose \frac i2-1}=\frac{4(i-1)}i{i-2\choose \frac i2-1}\\\\ P_i&=\frac{{i-2}\choose{\frac i2-1}}{2^{i-2}}\\ P_{i+2}=\frac{i\choose \frac i2}{2^i}&=\frac{\frac{4(i-1)}i{i-2\choose \frac i2-1}}{2^i}=\frac{\frac{(i-1)}i{i-2\choose \frac i2-1}}{2^{i-2}}=\frac{(i-1)}iP_i\\ 即:\\ P_i&=P_{i-2}\times(i-1)\div i \end{align}$$

代码就很简单了。

Code#

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#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(1,2,3,"Ofast","inline")
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
int t,n,mi,m;
double ans[100010]={1}/*C(i/2,i)*/;
signed main()
{
	for(int i=2;i<=100000;i+=2)
		ans[i]=ans[i-2]*(i-1)/i;
	t=read();
	for(int i=1;i<=t;i=-~i)
		printf("%.4lf\n",1-ans[read()-2]);
	return 0;
}