同步压缩变换感性认识

对WSST做出一个感性的认识并没有对具体的公式进行探究

文章对一篇英文博客进行了翻译 time frequency

参考了一篇《Synchrosqueezed Wavelet Transforms: a Tool for Empirical Mode Decomposition》的Introduction

WSST如何解释

对于一个单一的频率，在CWT的时频图上会显示出较粗的谱线，其中能量最高的一行是频率的真实值

为了看的更明显，我们将临近的行打印出来

聚合到一起，发现他们都是同一频率的，这不仅仅正选信号具有这样的特点，这也是小波和信号相关联的一个特点？

图中存在多余的”重复“信息，我们可以利用这一点，假设所有临近的带都来源于同一个带，我们就可以把他压缩成一个带，这就是sst做的事

数学原理

信号可以视为

\[S(t) = \sum_{k=1}^{k}s_k(t) \]

WSST基于幅度调制模型

\[s_k(t) = \sum_{k=1}^K A_k(t)cos(\phi_k(t)) \]

\(A_k(t)\)代表瞬时信号的幅度

\[\omega_k(t)=\frac{d}{dt}(\phi_k(t)) \]

\(\omega_k(t)\)代表频率成分\(k\)的瞬时频率。

假设有如下信号：

\[s(t) = .25cons([\Omega-\gamma]t)+2.5cos(\Omega t)+.25cos([\Omega + \gamma]t) = (2 + cos^2[\frac{\gamma}{2}t])cos(\Omega t) \]

可以把这个信号看成是3个信号的叠加也可以看成是对一个频率的信号进行幅度调制。当\(\Omega >> \gamma\)时公式右端成立。

在这一步我们假设只有CWT的结果，\(W_f(a,b)\)（a代表尺度，b代表时间移动）对于CWT得到的结果，我们知道对于频率为\(w\)的信号，\(W_s(a, b)\)会在\(a=w_0/w\)处展开，继而产生较宽的频率带，但是这并不影响时间轴，通过将\(W_f(a,b)\)对\(b\)求偏导可以得到\(w\)

\[w(a,b) = -j[W_f(a,b)]^{-1}\frac{\partial}{\partial b}W_f(a,b) \]

得到\(w\)之后就可以把信号从\((a,b)\)平面移到\((w,b)\)平面，计算公式如下：

\[T_s(w_l,b) = (\vartriangle w)^{-1}\sum_{a_k:w(a_k-w_l)\leq\vartriangle w /2}W_s(a_k,b)a_k^{-3/2}(\vartriangle a)_k \]

$\vartriangle w \(是\)w_l\(的间隔,\)a^{-3/2}$是标准化

SST VS FT

SST依靠信号的调制模型来绘制频谱图，傅里叶变换使用负指数基来描绘频率，但是傅里叶基的模长都是相同的，针对幅值变动的恒定频率信号，傅里叶变换被迫使用一些额外的频率来进行补偿，调制模型的意义在于在时间上将全局信号分解成振幅和频率，而不是假设所有时间的振幅和频率都相同且恒定，简单来说傅里叶基的强度是相同的，遇到两个频率相同，振幅不同的信号，会使用相近的频率来描述不同的振幅，这造成了FT频谱上谱线宽大，SST假设一个小的频率区间内只有一个频率，其他相近的频率是强度信息，根据这个假设对信号进行压缩。

FT的泛用性强，但它不一定是最优解，当对信号存在先验信息的时候（\(\Omega >> \gamma\)），SST就体现出更好性能。

海森堡不确定性原理

时频图的时间频率分辨率收到不确定性原理的限制，SST提高了频率分辨率但并没有突破不确定性原理的限制，SST对信号做了假设，最直觉的一个假设就是在一个“小”的范围内，只有1种频率其他频率来源于振幅，这对经过EMD分解后的单个模态来说是成立的。也就是说SST只是挑选了信号频谱的一种可能性，相当于我们对信号有了先验信息，并没有从理论上突破海森堡不确定性原理