P3477 [POI2008] PER-Permutation 解题报告

题目链接

我咕咕咕了这道题半年之久？

好像洛谷好多题解都被 hack 了啊，但是没有被撤。

（本题解现有 hack 均通过）

折叠题干

[POI2008] PER-Permutation

题目描述

Multiset is a mathematical object similar to a set, but each member of a multiset may have more than one membership.

Just as with any set, the members of a multiset can be ordered in many ways. We call each such ordering a permutation of the multiset. For example, among the permutations of the multiset{1,1,2,3,3,3,7,8}. there are {2,3,1,3,3,7,1,8} and{8,7,3,3,3,2,1,1}.

We will say that one permutation of a given multiset is smaller (in lexicographic order) than another permutation, if on the first position that does not match the first permutation has a smaller element than the other one. All permutations of a given multiset can be numbered (starting from one) in an increasing order.

Task Write a programme that reads the description of a permutation of a multiset and a positive integerm from the standard input, determines the remainder of the rank of that permutation in the lexicographic ordering modulo m, writes out the result to the standard output.

多重集合是数学中的一个概念，它的定义很像集合，但是在多重集之中，同一个元素可以出现多次。

和集合一样，多重集的的元素可以有很多种元素的排布顺序。我们把它叫作多重集的排列。

现在我们定义多重集的某个排列\(s_i\)比某个排列\(s_j\)

的大小比较为字典序比较。这样某个多重集的排列可以从小到大得排起来。

现在给你一个元素个数为n的多重集的一个排列和m，求这个排列的排名取模m。

输入格式

The first line of the standard input holds two integers n(\(1\le n \le 300000\)) and m (\(2 \le m \le 10^9\) ) ,separated by a single space. These denote, respectively, the cardinality of the multiset and \dots\ the number m.

The second line of the standard input contains n positive integers \(a_i\)(\(1\le a_i \le 300000\)), separated by single spaces and denoting successive elements of the multiset permutation.

第一行 两个整数n,m

第二行 n个数，代表多重集的排列

输出格式

The first and only line of the standard output is to hold one integer, the remainder modulo m of the rank of the input permutation in the lexicographic ordering.

一行一个整数 排名取模m

样例 #1

样例输入 #1

4 1000
2 1 10 2

样例输出 #1

5

提示

感谢@远航之曲 贡献的翻译

解题思路：

首先看到这道题求排名，感觉还挺像康托展开的，但是康拓展开求的是 不会出现重复元素的排列 的排名，而这道题的难题主要有两个：

可重复和未知模数。

对于可能重复的元素：

我们思考康托展开本身的公式。

对于一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列：\({a_1,a_2,a_3,\dots,a_n}\)，其排名为：

\[\sum_{i=1}^{n} sum_{a_i}\cdot (n-i)! \]

而 \(sum_{a_i}\) 表示在 \(a_i\) 之后比它元素小的个数。

int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    int sum=0;
   	for(int j=i;j<=n;j++)
	if(a[i]<a[j])sum++;//统计sum
    ans=(ans+sum*jc[n-i])%998244353;//计算ans                       
}
printf("%d",ans+1);//别忘了+1

那考虑如何去重呢？

我们的 \((n-i)!\) 表示的是 \((i+1)-n\) 位置所有的方案数，对于不重复元素，两个元素互换位置是不同的方案，而重复的元素，两个元素互换位置方案相同，造成了方案数的重复计算。

因此，我们考虑将重复元素提出来，例如 \({39,39,39,39}\)，它是一个方案，却计了 \(4!\) 次。

所以，设从 \(i-n\) 位置一共有 \(piece_i\) 种元素，\(cnt_{j}\) 表示在当前的 \(piece_i\) 下的第 \(j\) 个元素，答案为：

\[ans=\sum_{i=1}^{n} \dfrac{sum_{a_i}\cdot (n-i)!}{\prod_{j=1}^{piece_{i}} cnt_j} \]

然后你发现，如果从左往右扫，不断删除元素对于 \(cnt_j\) 的处理较难，所以考虑从右往左倒序枚举，这样就成为了加入元素，无论是分子还是分母都较为简单。

对于不明的模数

对于不定模数，或许有两种解决方式：

• 使用不依赖模数性质的算法或利用给出的模数自带的性质。

• 对模数进行特殊的处理。

不知道数据有没有 114514 一类的模数，但是显然 114514 不是质数，所以费马小定理不能使用。

而我们只能考虑扩展欧几里得算法了，它要求我们求解的模数与求解数互质。

所以我们可以对分母 \(\prod_{j=1}^{piece_{i}} cnt_j\) 和模数分解质因数，对于模数没有的质因子，扩展欧几里得求逆元。

对于共同的质因子，我们考虑直接消去，因为 \(ans\) 是整数，所以 \(\dfrac{sum_{a_i}\cdot (n-i)!}{\prod_{j=1}^{piece_{i}}\limits cnt_j} cnt_j\) 是整数，所以若存在共同质因子 \(p_i\)，其分子一定存在比分母更多的质因子 \(p_i\)，所以直接消去分子和分母所有的 \(p_i\)，然后使分子乘上本身比分母多的 \(p_i\) 即可。

(tips:有关Hack，请注意这里的分子包含 \(suma\)，即帖中的 \(w\)。)

使用树状数组优化一下，跑的还是比较快的。

Miku's Code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define rg register int
#define cout std::cout
#define cerr std::cerr
#define endl '\n'
#define int long long
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double ff;
typedef long double llf;
const ff eps=1e-8;
int Max(int x,int y)    <% return x<y?y:x; %>
int Min(int x,int y)    <% return x<y?x:y; %>
int Abs(int x)  <% return x>0?x:-x; %>
#if ONLINE_JUDGE
char INPUT[1<<20],*p1=INPUT,*p2=INPUT;
#define getchar() (p1==p2 && (p2=(p1=INPUT)+fread(INPUT,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
il int read(){
    char c=getchar();
    int x=0,f=1;
    while(c<48) <% if(c=='-')f=-1;c=getchar(); %>
    while(c>47) x=(x*10)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}const int maxn=3e5+5;

int n,Mod,ptot,p[maxn],a[maxn],sa[maxn],rank[maxn],len;
int cnt_numerator[maxn],cnt_denominator[maxn];
ll sum[maxn],ans,cnt[maxn];

il ll mymod(ll x){ return x<Mod?x:x-Mod; }

il ll qpow(ll x,int k){
// x^k
    ll res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=res*x%Mod;
        x=x*x%Mod;
        k=k>>1;
    }
    return res;
}

il void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
// 求得x是a在模Mod意义下的乘法逆元
    if(!b)  return x=1,y=0,void();
    exgcd(b,a%b,y,x);y=(y-(a/b)*x%Mod+Mod)%Mod;
}

#define lowbit(x) (x&-x)
il ll query(int pos){
    ll res=0;
    while(pos){
        res+=sum[pos];
        pos-=lowbit(pos);
    }
    return res;
}
il void update(int pos,int val){
    while(pos<=len){
        sum[pos]+=val;
        pos+=lowbit(pos);
    }
}
#undef lowbit

il ll solve_numerator(ll numerator){
// 对分子分解质因数
    if(!numerator)  return 1;
    for(rg i=1;i<=ptot;++i){
        if(numerator%p[i])  continue;
        while(!(numerator%p[i]))  ++cnt_numerator[i],numerator/=p[i];
    }
    return numerator;
}

il void back(ll numerator){
// 撤回ssum对cnt_numerator的影响
    if(!numerator)  return;
    for(rg i=1;i<=ptot;++i){
        if(numerator%p[i])  continue;
        while(!(numerator%p[i]))  --cnt_numerator[i],numerator/=p[i];
    }
}

il ll solve_denominator(ll denominator){
// 对分母分解质因数
    if(!denominator)    return 1;
    for(rg i=1;i<=ptot;++i){
        if(denominator%p[i])    continue;
        while(!(denominator%p[i]))    ++cnt_denominator[i],denominator/=p[i];
    }
    return denominator;
}

il void work(){
    int numerator=1,denominator=1,res=1,x=0,y=0,save;
    for(rg i=n;i>=1;--i){
        res=1;
        ++cnt[a[i]];
        numerator=numerator*solve_numerator(n-i)%Mod;
        save=numerator;
        denominator=denominator*solve_denominator(cnt[a[i]])%Mod;
        update(rank[i],1);
        int ssum=query(rank[i]-1);
        if(!ssum)   continue;   // 没有比当前位小的直接continue
        numerator=numerator*solve_numerator(ssum)%Mod;
        exgcd(denominator,Mod,x,y);     // 求非共同质因子的逆元x
        x=mymod(x%Mod+Mod);
        for(rg j=1;j<=ptot;++j) res=res*qpow(p[j],cnt_numerator[j]-cnt_denominator[j])%Mod; // 消去共同质因子
        res=res*numerator%Mod*x%Mod;
        ans=mymod(ans+res);
        back(ssum);numerator=save;
    }
}

il void input(){
    n=read(),Mod=read();
    for(rg i=1;i<=n;++i)    a[i]=read(),sa[i]=rank[i]=a[i];
    std::sort(sa+1,sa+1+n);
    len=std::unique(sa+1,sa+1+n)-(sa+1);
    for(rg i=1;i<=n;++i)    rank[i]=std::lower_bound(sa+1,sa+1+len,rank[i])-sa; // 离散化
    int save=Mod;
    for(rg i=2;i<=sqrt(Mod);++i){
        if(Mod%i)   continue;
        p[++ptot]=i;
        while(!(Mod%i))   Mod/=i;
    }
    if(Mod^1)   p[++ptot]=Mod;
    Mod=save;
}

signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("PER.in","r",stdin);
#endif
    input();
    work();
    printf("%lld\n",mymod(ans+1));
    return 0;
}

对于 hack 数据的分析

update on 10.2.

有关 Hack

发现其他人有 \(7\) 篇题解被 hack 掉了？

呃呃，我们简单分析一下可能大家被 Hack 的原因。

Hack：from Rainybunny

input:

4 100
2 1 2 1

output:

5

我们以 \(K_8He\) 老师的题解为例，他说：

\[\large\dfrac{\frac{(n-i)!}{p^{x}}}{\frac{\prod(cnt_j!)}{p^{y}}}*p^{x-y}\bmod{p^k} \]

针对这个式子，\(x-y\) 可能为负，需要运用人类智慧用逆元淦。

和我们提取的公因数不同，分子不包含 \(sum\) 或者说 \(\sum_{j=1}^{n}[a_i>a_j]\)，\(x-y\) 可能为负。

但是当求逆元时，如果 \(p\) 与当前模数 \(Mod\) 不互质，就不能运用扩展欧几里得求逆元。

但是当你将分子向上提的时候，也有可能 \(sum\) 等于 \(0\)，会造成 \(x-y\) 为负数，所以我们直接 continue，反正无贡献。