不动点法求解数列通项公式

不动点法（也称为特征根法或迭代法）是求解数列通项公式的一种技巧，特别适用于形如 \(a_{n+1} = pa_n + q\)（其中 \(p, q\) 为常数，\(p \neq 1\)）的递推数列。这种方法的核心思想是将递推式转化为一个关于 \(a_n\) 和 \(a_{n+1}\) 的等式，然后寻找一个“不动点”，即满足 \(x = px + q\) 的 \(x\) 值，进而利用这个不动点来构造一个新的数列，使得新数列成为等比数列或等差数列，从而更容易地求出原数列的通项公式。

步骤详解

1. 寻找不动点：
   解方程 \(x = px + q\)，得到 \(x = \frac{q}{1-p}\)（注意 \(p \neq 1\)）。这个 \(x\) 就是不动点。

2. 构造新数列：
   令 \(b_n = a_n - \frac{q}{1-p}\)（即原数列的每一项减去不动点），目的是将原递推式转化为更简单的形式。

3. 推导新数列的递推式：
   将 \(a_n\) 和 \(a_{n+1}\) 分别用 \(b_n + \frac{q}{1-p}\) 和 \(b_{n+1} + \frac{q}{1-p}\) 替换到原递推式 \(a_{n+1} = pa_n + q\) 中，得到：

   \[b_{n+1} + \frac{q}{1-p} = p(b_n + \frac{q}{1-p}) + q \]

   化简后可得：

   \[b_{n+1} = pb_n \]

   这说明新数列 \(\{ b_n \}\) 是一个等比数列，其首项为 \(b_1 = a_1 - \frac{q}{1-p}\)，公比为 \(p\)。

4. 求出新数列的通项公式：
   根据等比数列的通项公式，有：

   \[b_n = b_1 \cdot p^{n-1} = \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right) \cdot p^{n-1} \]

5. 回代求原数列的通项公式：
   将 \(b_n\) 的表达式回代到 \(b_n = a_n - \frac{q}{1-p}\) 中，得到：

   \[a_n = b_n + \frac{q}{1-p} = \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right) \cdot p^{n-1} + \frac{q}{1-p} \]

   进一步化简，可得：

   \[a_n = \frac{q}{1-p} + \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right) \cdot p^{n-1} = \frac{a_1(1-p) + q}{1-p} \cdot p^{n-1} + \frac{q}{1-p} \]

   或者更常见的形式（当 \(p \neq 0\) 时）：

   \[a_n = \left[ a_1 - \frac{q}{p-1} \right] p^{n-1} + \frac{q}{p-1} \]

注意事项

• 当 \(p = 1\) 时，递推式变为 \(a_{n+1} = a_n + q\)，此时数列是等差数列，直接应用等差数列的通项公式即可。
• 不动点法主要适用于线性递推数列，且当递推式中包含常数项时特别有效。