不动点法求解数列通项公式

不动点法（也称为特征根法或迭代法）是求解数列通项公式的一种技巧，特别适用于形如 $a_{n+1} = pa_n + q$（其中 $p, q$ 为常数，$p \neq 1$）的递推数列。这种方法的核心思想是将递推式转化为一个关于 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 的等式，然后寻找一个“不动点”，即满足 $x = px + q$ 的 $x$ 值，进而利用这个不动点来构造一个新的数列，使得新数列成为等比数列或等差数列，从而更容易地求出原数列的通项公式。

步骤详解

1. 寻找不动点：
   解方程 $x = px + q$，得到 $x = \frac{q}{1-p}$（注意 $p \neq 1$）。这个 $x$ 就是不动点。

2. 构造新数列：
   令 $b_n = a_n - \frac{q}{1-p}$（即原数列的每一项减去不动点），目的是将原递推式转化为更简单的形式。

3. 推导新数列的递推式：
   将 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 分别用 $b_n + \frac{q}{1-p}$ 和 $b_{n+1} + \frac{q}{1-p}$ 替换到原递推式 $a_{n+1} = pa_n + q$ 中，得到：

   $$b_{n+1} + \frac{q}{1-p} = p(b_n + \frac{q}{1-p}) + q$$

   化简后可得：

   $$b_{n+1} = pb_n$$

   这说明新数列 $\{ b_n \}$ 是一个等比数列，其首项为 $b_1 = a_1 - \frac{q}{1-p}$，公比为 $p$。

4. 求出新数列的通项公式：
   根据等比数列的通项公式，有：

   $$b_n = b_1 \cdot p^{n-1} = \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right) \cdot p^{n-1}$$

5. 回代求原数列的通项公式：
   将 $b_n$ 的表达式回代到 $b_n = a_n - \frac{q}{1-p}$ 中，得到：

   $$a_n = b_n + \frac{q}{1-p} = \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right) \cdot p^{n-1} + \frac{q}{1-p}$$

   进一步化简，可得：

   $$a_n = \frac{q}{1-p} + \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right) \cdot p^{n-1} = \frac{a_1(1-p) + q}{1-p} \cdot p^{n-1} + \frac{q}{1-p}$$

   或者更常见的形式（当 $p \neq 0$ 时）：

   $$a_n = \left[ a_1 - \frac{q}{p-1} \right] p^{n-1} + \frac{q}{p-1}$$

注意事项

• 当 $p = 1$ 时，递推式变为 $a_{n+1} = a_n + q$，此时数列是等差数列，直接应用等差数列的通项公式即可。
• 不动点法主要适用于线性递推数列，且当递推式中包含常数项时特别有效。