【题解】佳佳的 Fibonacci

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• 题目链接
• 题目描述
• 做题思路
  • • 1.我推它的公式
    • 2.我搞它的矩阵
• 代码实现

题目链接

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题目描述

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私货：《消失点》——洛天依\Icelter。

做题思路

1.我推它的公式

双倍题解给下一位
首先，$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$
其次，$T_i=T_{i-1}+if_i$
易得，$T_i=T_{i-1}+nf_{n-1}+nf_{n-2}$
所以我们考虑如何使用base来转换出$T_i$

2.我搞它的矩阵

我们的base一定包含那么五个元素，分别是：
$T_{i-1}$、$nf_{i-1}$、$nf_{i-2}$、$f_i-1$、$f_{i-2}$
那么我们先列出一个表格，表格的第一行是这五个元素，第一列是a*base后得到的元素。
表格里的1表示相加

	$T_n-1$	$nf_{n-1}$	$nf_{n-2}$	$f_{n-1}$	$f_{n-2}$
$T_i$	1	1	1
$n+1f_n$		1	1	1	1
$n+1f_{n-1}$		1		1
$f_{n}$				1	1
$f_{n-1}$				1

根据矩阵乘法中的一些东西：
关于矩阵乘中的矩阵乘行向量或列向量
我们可以知道，首先5*5的矩阵相乘，要使左矩阵的行向量乘右矩阵的列向量得到第一个元素$T_i$
那么就要让上述表格的第一行作为行向量是乘号左边的矩阵，倒置表格使表格的数是：
1 0 0 0 0
1 1 1 0 0
1 1 0 0 0
0 1 1 1 1
0 1 0 1 0
作为乘号右边的矩阵。
或者说我们让上述表格的第一行是列向量作为乘号右边的矩阵，不倒表格作为乘号左边的矩阵。
我们以第一种做法为例
再来推初始矩阵n=3很好推叭
3 3 3 1 1

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代码实现

Miku's Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int maxn=2147483647;
typedef long long intx;
 
int n,m; 
intx ans;
 
struct matrix{
	intx num[8][8];
	matrix clear(){memset(num,0,sizeof(num));}
};matrix a,base;
 
matrix operator*(matrix &x,matrix &y){
	matrix res;
	res.clear();
	for(int k=1;k<=5;++k){
		for(int i=1;i<=5;++i){
			for(int j=1;j<=5;++j){
				res.num[i][j]=(res.num[i][j]+x.num[i][k]*y.num[k][j]%m)%m; 
			}
		}
	}
	return res;
}
 
void pre(){
	base.clear();
	base.num[1][1]=1;
	base.num[2][1]=base.num[2][2]=base.num[2][3]=1;
	base.num[3][1]=base.num[3][2]=1;
	base.num[4][2]=base.num[4][3]=base.num[4][4]=base.num[4][5]=1;
	base.num[5][2]=base.num[5][4]=1;
	a.num[1][1]=a.num[1][2]=a.num[1][3]=3;
	a.num[1][4]=a.num[1][5]=1;
}
 
void get(int k){
	while(k){
		if(k&1)	a=a*base;
		k=k>>1;
		base=base*base; 
	}
}
 
void input(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
}
 
int main(){
	input();
	pre();
	if(n==1){
		printf("1");
		return 0;
	}
	if(n==2){
		printf("3");
		return 0;
	}
	n-=2;
	get(n);
	intx ans=a.num[1][1]%m;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}