【题解】P4159 [SCOI2009] 迷路

目录

• 题目链接
• 题目内容
• 前置知识：矩阵快速幂
• 思路历程(1,2,3是迷路过程不用看)
  • • 1.我寻思这图里咋还有自环呢
    • 2.ok快乐的板子时光总是短暂的（）
    • 3.额我们还是不看边权，但是不扯到图上去了。
    • 4.那我们现在加上边权吧
    • 5.回归本题
• 代码实现：

题目链接

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题目内容

[SCOI2009] 迷路

题目背景

windy 在有向图中迷路了。

题目描述

该有向图有 $n$ 个节点，节点从 $1$ 至 $n$ 编号，windy 从节点 $1$ 出发，他必须恰好在 $t$ 时刻到达节点 $n$。

现在给出该有向图，你能告诉 windy 总共有多少种不同的路径吗？

答案对 $2009$ 取模。

注意：windy 不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

输入格式

第一行包含两个整数，分别代表 $n$ 和 $t$。

第 $2$ 到第 $(n + 1)$ 行，每行一个长度为 $n$ 的字符串，第 $(i + 1)$ 行的第 $j$ 个字符 $c_{i, j}$ 是一个数字字符，若为 $0$，则代表节点 $i$ 到节点 $j$ 无边，否则代表节点 $i$ 到节点 $j$ 的边的长度为 $c_{i, j}$。

输出格式

输出一行一个整数代表答案对 $2009$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 2
11
00

样例输出 #1

1

样例 #2

样例输入 #2

5 30
12045
07105
47805
12024
12345

样例输出 #2

852

提示

样例输入输出 1 解释

路径为 $1 \to 1 \to 2$。

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $n \leq 5$，$t \leq 30$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $2 \leq n \leq 10$，$1 \leq t \leq 10^9$。

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前置知识：矩阵快速幂

题目链接

一个幂数k=$\sum2^i$ $i$ $\in$ $Z$
所以快速幂板子就出来啦（）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int maxn=150;
const int m=1e9+7; 
typedef long long intx;
 
int n; 
intx k; 
 
struct matrix{
	intx num[maxn][maxn];
	matrix(){memset(num,0,sizeof(num));}
	void build(){for(int i=1;i<=n;++i)	num[i][i]=1;}	//单位矩阵 
};matrix a,ans;
matrix operator*(const matrix &x,const matrix &y){
	matrix z;
	for(int k=1;k<=n;++k){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=1;j<=n;++j){
				z.num[i][j]=(z.num[i][j]+x.num[i][k]*y.num[k][j]%m)%m;
			}
		}
	}
	return z;
}
 
void input(){
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n;++j){
			scanf("%d",&a.num[i][j]);
		}
	}
}
 
int main(){
	input();
	ans.build();
	while(k){
		if(k&1)	ans=ans*a;
		a=a*a;
		k=k>>1;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n;++j){
			printf("%d ",ans.num[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

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私货：话题#虚拟歌姬也会迷路吗#

思路历程(1,2,3是迷路过程不用看)

1.我寻思这图里咋还有自环呢

对角线还有值这自己和自己连边啊。
干不会了。
然后就看这个专题名字叫“矩阵快速幂”
但是我还没有打过板子所以速速去打了一下（）

2.ok快乐的板子时光总是短暂的（）

我想了想觉得边权肯定是附加的属性，于是我先不管边权只建边或许可以的得到一些启发：

好丑的图（）
ps:Spade-A闲的没事给我画了个好看的强烈让我把图换下来，但是这个图不能表示自环：

嗯所以和矩阵有什么关系呢（其实当我画出这么多边的时候我就知道没什么用了）
怎么还越扯越远了（）

3.额我们还是不看边权，但是不扯到图上去了。

如果，我是说如果，这是个邻接矩阵：
样例1：
1 1
0 0
问有几种到达方法。
那么就是说1要一个一个点到达2，第一行都要有数。
也就是说啊，i可以一个一个点的到达j，意味着$a_i,_2$ ———— $a_i,_j$要有数
那经过的每一个点又都有一个出度，出度就是第i行1的个数
是不是说从1起点能到达的点的出度相乘再除以2就是方案数呢？
那么样例2呢：
1 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 1 1 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
怎么感觉不太对啊……
话说我要是从点1到点5再回点1再到点5这算不算一种方案啊……

4.那我们现在加上边权吧

那该怎么算边权呢？
我们假设边权只有1
$f_t[i,j]$表示从i点到j点花费时间为t的方案数
就有了方程：
$f_t=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{t-1}[i,k]*f_1[k,j]$
那$f_t$也就是$f_1^t$。
那就出来了a。
$f_1$就是最初的矩阵啊。

5.回归本题

本题的区别在于权值是1-9啊
1-9，1-9……
我想了想，我他喵的$f_t$是$f_1^t$
那$f_9$不就是$f_1^9$吗！！！
那我把这个边多拆成几条边。
反正是求不小于t的方案数。
但是我如何建边才能保证没有多得方案数啊。
总不能搁节点1和节点2之间塞点吧
……
去看看题解（）
……
学成归来了w
我们1个点建9个小点，只有第1小点可以跨越小点的集合。
那么我们建立第i+1小点到第i小点的w=1的单向边
而要连的两个点1到点2则将小点集合1中的小点1和集合2中的小点w相连。
如下图（只画出了点1到点2经过的路径）

如果用平面角度去理解：那么我们就转换成了边权都为1的$9n^2$大小的矩阵,也可以认为是边权为9的$n^2$集合大小的矩阵
如果从空间角度去理解，我们就得到了一个长和高为n，宽为9的长方体

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代码实现：

Miku's Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int maxn=12;
const int mod=2009;
 
char s[maxn];
int n,sn,t;
 
struct matrix{
	int num[maxn*9][maxn*9];
	void clear(){
		memset(num,0,sizeof(num));
	}
	 
};matrix a;
matrix operator *(matrix x,matrix y){
	matrix res;
	res.clear();
	for(int k=1;k<=n;++k){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=1;j<=n;++j){
				res.num[i][j]=(res.num[i][j]+x.num[i][k]*y.num[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return res;
}
 
matrix operator ^(matrix x,int y){
	matrix res;
	res.clear();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		res.num[i][i]=1;		//单位矩阵 
	}
	while(y){
		if(y&1)	res=res*x;
		x=x*x;
		y=y>>1;
	} 
	return res;
}
 
void inner_link(){				//小点间建边 
	for(int i=1;i<=sn;++i){
		for(int j=1;j<=8;++j){
			a.num[9*(i-1)+j+1][9*(i-1)+j]=1;
		}
	} 
}
 
void outer_link(){				//集合间建边 
	for(int i=1;i<=sn;++i){
		scanf("%s",s+1);
		for(int j=1;j<=sn;++j){
			if(s[j]>'0'){
				a.num[9*(j-1)+1][9*(i-1)+s[j]-'0']=1;
			}
		}
	}
} 
 
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&t);
	sn=n;
	n*=9;
	inner_link();
	outer_link();
	a=a^t;
	printf("%d",a.num[sn*9-8][1]);
	return 0;
}