概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结

文章目录

• 一：期望
• • 1.1离散型随机变量的期望
  • 1.2连续型随机变量的期望
  • 1.3期望的性质
• 二：随机变量函数（复合随机）的数学期望
• 三：方差
• • 3.1离散型随机变量的方差
  • 3.2连续性随机变量的方差
  • 3.3方差的性质
• 四：协方差
• • 4.1定义
  • 4.2离散型二维随机变量的协方差
  • 4.3连续型二维随机变量的协方差
  • 4.4二维随机变量的协方差性质
  • 4.5协方差矩阵
• 五：相关系数

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一：期望

引入：

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1.1离散型随机变量的期望

注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。

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1.2连续型随机变量的期望

注：因为对于连续性随机变量其某一点的概率是无意义的，所以要借用密度函数，详情见：https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109563254，其实就是一个期望累计的过程。

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1.3期望的性质

注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。

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二：随机变量函数（复合随机）的数学期望

1.理解

注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型 ，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于 连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。

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三：方差

引入的意义：

求每次相对于均值的波动：

求波动的平方和：

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定义：

注：其实就是对X-E(X)方 ，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。

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3.1离散型随机变量的方差

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3.2连续性随机变量的方差

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3.3方差的性质

注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下

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四：协方差

4.1定义

注：这里和之前一个变量对比，之前是一个变量的偏移后进行平方，然而这里是两个变量平移后进行相乘。

4.2离散型二维随机变量的协方差

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4.3连续型二维随机变量的协方差

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4.4二维随机变量的协方差性质

注：了解即可…

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4.5协方差矩阵

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五：相关系数

所以： 独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。

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参考链接：
https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/11097322.html