最优化理论（二）拉格朗日乘子法

文章目录

• 一：无约束条件
• 二：等式约束条件--拉格朗日乘子
• • 2.1拉格朗日乘子法的定义以及推导
  • 2.2一个简单的例子：

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引入： 优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化，即最大值问题可以转化成最小值问题)

一：无约束条件

这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量求导，令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。

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二：等式约束条件–拉格朗日乘子

2.1拉格朗日乘子法的定义以及推导

这种方法可以将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个解有n + k个变量的方程组的解的问题。这种方法中引入了一个或一组新的未知数，即拉格朗日乘数，又称拉格朗日乘子，或拉氏乘子，它们是在转换后的方程，即约束方程中作为梯度（gradient）的线性组合中各个向量的系数。

注：上面的拉格朗日乘子的-或+没有关系；并且拉格朗日乘数法所得的极点会包含原问题的所有极值点，但并不保证每个极值点都是原问题的极值点。

注：绿线标出的是约束g(x,y) = c的点的轨迹。蓝线是f的等高线。箭头表示梯度，和等高线的法线平行。
从上面的图出发：

注：其实就是约束和方程在某一点相切，此时两者的梯度方向是平行的，相向或者是反向，求出参数，然后带到原方程即可，这里为什么此时的梯度就是原函数的梯度！！
见下面的证明：

注：这里主要利用了全微分的概念，全微分理解见：https://editor.csdn.net/md/?articleId=109603958

2.2一个简单的例子：

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参考链接：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0
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