关于行列式的一个猜想

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与其说是猜想，其实只是笔者在学习过程中的一点猜测，未经证实。如果有网友可以留言建议一些参考文献，不胜感激。

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先给一些基本的符号

对于一个方阵
\begin{align}
A = \left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{matrix} \right]
\end{align}

用\(A_i\)来表示方阵\(A\)中第\(i\)个列向量。取n维空间中的一组单位正交基\(\boldsymbol{\phi_1},\boldsymbol{\phi_2}, ..., \boldsymbol{\phi_n}\)。
\begin{align}
\boldsymbol{\phi_1} = \left[
\begin{matrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
\end{matrix} \right],
\boldsymbol{\phi_2} = \left[
\begin{matrix}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0 \\
\end{matrix} \right], \cdots ,
\boldsymbol{\phi_n} = \left[
\begin{matrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
n \\
\end{matrix} \right].
\end{align}
向量\(A_i\)于是可以表示成:
\begin{align}
A_i = \left[
\begin{matrix}
a_{1i} \\
a_{2i} \\
\vdots \\
a_{ni} \\
\end{matrix} \right]
= a_{1i} \left[
\begin{matrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
\end{matrix} \right]

• a_{2i} \left[
  \begin{matrix}
  0 \\
  1 \\
  \vdots \\
  0 \\
  \end{matrix} \right] + \cdots +
  a_{ni} \left[
  \begin{matrix}
  0 \\
  0 \\
  \vdots \\
  n \\
  \end{matrix} \right]
  = a_{1i} \boldsymbol{\phi_1} + a_{2i} \boldsymbol{\phi_2} + \cdots + a_{ni} \boldsymbol{\phi_n} \nonumber
  \end

向量叉乘 (\(\times\))

我们先假设一个三维空间，对于三维空间内的两个向量，without loss of generality，我们可以用\(A_2\)和\(A_3\)来表示这两个向量。那么这两个向量的叉乘\(A_2 \times A_3\)被定义为
\begin{align}
A_2 \times A_3 = \left|
\begin{matrix}
\boldsymbol{\phi_1} & \boldsymbol{\phi_2} & \boldsymbol{\phi_3} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} \\
\end{matrix} \right|
= \left|
\begin{matrix}
\boldsymbol{\phi_1} & \boldsymbol{\phi_2} & \boldsymbol{\phi_3} \\
- & A_2^T & - \\
- & A_3^T & - \\
\end{matrix} \right| .
\end

• \(A_2 \times A_3\)的结果实际上还是一个向量。这个向量的长度的物理意义，或者说几何意义，其实就是由\(A_2\)和\(A_3\)组成的一个平行四边形的面积。
  由于向量有方向，那么这个面积其实也是有方向的。(至于这个方向怎么理解，尚不明确，挖坑待填。该方向性应该和右手定则有关，并且在高等数学求曲线积分或者复变函数中求某一个路径积分时也有涉及)。

猜想1

• 当维数\(n\)升高是，想要获得一个在\(n\)维空间内的平面，需要\(n-1\)个向量。那么由\(A_2, A_3, \cdots , A_n\) 围成的一个超面面积(严格来说并不是一整个面，这\(n-1\)
  个向量可以确定一个超面，而这\(n-1\)
  个向量的顶点在这个超面上，围城了一个几何图形，所谓的面积则是这个几何图形的面积)可以由行列式
  \begin{align}
  \left|
  \begin{matrix}
  \boldsymbol{\phi_1} & \boldsymbol{\phi_2} & \boldsymbol{\phi_3} & \cdots & \boldsymbol{\phi_n} \\
  • & - & A_2^T & - & - \\
  • & - & A_3^T & - & - \\
    & & \vdots & & \\
  • & - & A_n^T & - & -
    \end{matrix} \right|
    \end{align}
    计算得出。

行列式的物理意义(几何意义)

在(理解行列式1)中，关于2阶和3阶行列式的意义已经给出了，分别是2为空间的面积，和3维空间的体积。

猜想2

这里我们大胆猜想一下，在高维度的空间内，行列式\(\det A\)的意义实际上是\(n\)维空间内，由\(A\)中的\(n\)个列向量所唯一确定的平行\(2n\)面体的体积。进一步将，将\(A_1\)与\(A_2, A_3, \cdots, A_n\)分离来，行列式\(\det A\)可以由下面的公式来计算
\begin{align}
\det A = A_1 \cdot \left|
\begin{matrix}
\boldsymbol{\phi_1} & \boldsymbol{\phi_2} & \boldsymbol{\phi_3} & \cdots & \boldsymbol{\phi_n} \\
- & - & A_2^T & - & - \\
- & - & A_3^T & - & - \\
& & \vdots & & \\
- & - & A_n^T & - & -
\end{matrix} \right| .
\end{align}
这刚刚好是一个底面积乘以高形式的体积求法。

如果猜想1和猜想2正确的话，那么对于

• 行列式是体积
• 行列式的代数余子式形式展开可以写成两个向量的内积形式，也就是底面积乘以高的计算体积形式
  多多少少算是相互自洽了。但目前对于整个行列式的理论逻辑环还没有闭合上。仍旧有很奇怪的定义或者关系，比方说
• 面积的方向性
• 由面积的方向性导致的体积值可能为负数
• 代数余子式前面或有或无的负号
• 逆序数以及逆序数和负号之间的关系