理解行列式1
理解行列式
在大学线性代数中，我们都学过行列式这个概念。然而，以张禾瑞/郝鈵新先生写的《高等代数》为代表的一大批国内教材只是给出了行列式的定义以及一些基本数学性质，并没有真正的讲清楚行列式是个什么东西。本文旨在探究行列式背后的物理意义，由于笔者水平有限，难免会有些纰漏，敬请读者留言指教。：
- 行列式的新定义
- 行列式的性质
- 关于行列式性质的一些思考
- Cramer's Rule
行列式的新定义
国内的教材在介绍行列式的时候往往从一个极其奇葩的概念——逆序数——开始。使得行列式的定义看上去非常的机械，一些看上去一点都不相关的数字通过完全抓不清头绪的复杂关系组合到一起，又有了一些奇奇怪怪的性质。让人着实摸不到头脑。
笔者这里采用David C. Lay老爷子写的《Linear Algebra and Its Applications》[^DavidCLay]中的定义，希望可以给出一些更多的启发。
行列式的定义
对于一个方阵
\begin{align}
A = \left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right]
\end
- 当\(n=1\)时，\(A=[a_{11}]\), 对应的行列式\(\det A = a_{11}\).
- 当\(n=2\)时，对应的行列式\(\det A = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\).
- 当\(n>2\)时，
\begin{align}
\det A & = a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + ... + (-1)^{1+n} a_{1n} A_{1n} \\
& = \sum_{i=1}^n (-1)^{1+i} a_{1i} A_{1i} \\
& = \sum_{i=1}^n a_{1i} C_{1i}
\end{align}
其中 \(A_{ij}\) 被定义为去掉方阵中的第\(i\)行与第\(j\)列之后的所得的新方阵所对应的行列式，在中文教材中 \(A_{ij}\) 一般被称为方阵\(A\)的余子式，\(C_{ij}\) 被定义为
\begin{align}
C_{ij} = (-1)^{i+j} A_{ij}，
\end{align}
一般的中文教材将\(C_{ij}\)称为代数余子式。
这个定义其实是国内线性代数教材中的一个定理/性质，但是通过这种定义方式避免了通过逆序数来对行列式进行定义导致众多读者摸不着头脑。
行列式的性质
1. Thm1
一个方阵A的行列式除了按照上述定义来计算意外，还可以沿着出第一行意外任何一行，或者任何一列来展开。这种展开方式被称为代数余子式展开(cofactor expension)。
\begin{align}
\det A & = \sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij} \\
& = \sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij}
\end{align}
这个定理的证明过于复杂，在[^DavidCLay]中David C. Lay老爷子称之为lengthy。当然，对于任何一个定理，没有证过拿来就用当然就是耍流氓。不是一个严谨的态度，尽管说严谨并不是严肃。 我们这里占个坑，以后来填，因为在写这篇文章初稿的时候笔者也不知道到底要怎么去证明。
Proof of Thm1
(Thm1的证明过程应该放在这里...)
2. Thm2
一个三角阵（上三角或者下三角）的行列式的值等于其主对角线上元素的乘机。
这个定理只是给出了快速计算三角行列式的方法。
Proof of Thm2
这个结论看上去比较显然，只需要按照Thm1所述，对于上(下)三角矩阵沿着第一列（行）做代数余子式展开，即可得到Thm2。
3. Thm3
- 将方阵A的任意一行乘以一个数再加到另外一行上，得到方阵B。那么，\(\det A = \det B\)。
- 将方阵A中的任意两行对换，得到方阵B。那么，\(\det A = -\det B\)。
- 将方阵A中任意一行中的所有元素都乘以同一个数\(k\)，得到方阵B。那么，\(\det A = k\det B\)。
这个定理的证明也比较容易，先证明2。
Proof of Thm3.2
(证明过程应该放在这里...)
根据2，很容易证明1
Proof of Thm3.2
(证明过程应该放在这里...)
3的证明比较显然，可以根据Thm1直接得到。
Proof of Thm3.3
(证明过程应该放在这里...)
4. Thm4
\(\det A \neq 0\)是方阵A可逆的充要条件。
这个证明也是先占坑，后面再来填上。
Proof of Thm4
(证明过程应该放在这里...)
5. Thm5
\(\det A^T = \det A\)。
这个证明也是先占坑，后面再来填上。
Proof of Thm5
(证明过程应该放在这里...)
6. Thm6
如果矩阵A与B都是\(n\times n\)阶方阵，那么\(\det(AB)=\det A \cdot \det B\)。
这个证明也是先占坑，后面再来填上。
Proof of Thm6
(证明过程应该放在这里...)
7. Thm7 克莱姆法则
对于线性方程组 \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\)，用\(A_i(\mathbf{b})\) 来表示用向量\(\mathbf{b}\)来替代矩阵\(A\)中的第\(i\)列所得到的新方阵。那么有
\begin{align}
x_i = \frac{ \det A_i(\mathbf{b}) }{\det A}, \qquad i=1,2,...,n
\end
这个证明也是先占坑，后面再来填上。 不过这个证明真的是好巧妙啊。
Proof of Thm7
(证明过程应该放在这里...)
8. Thm8 求矩阵\(A\)的逆矩阵的一个公式
$ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj} \m A \( 其中\)\mathrm{adj} \m A \(为矩阵\)A$的伴随矩阵，具体为
这个证明也是先占坑，后面再来填上。
Proof of Thm8
9. Thm9
如果矩阵\(A\)是\(2\times 2\)的矩阵，那么\(|\det A|\) 是矩阵A中两个列向量所组成的平行四边形的面积。 如果矩阵\(A\)是\(3\times 3\)的矩阵，那么\(|\det A|\) 是矩阵A中三个列向量所组成的平行六面体的体积。
这个证明也是先占坑，后面再来填上。
Proof of Thm9
10. Thm10
如果\(T\)是一个由\(2\times 2\)矩阵\(A\)所决定（描述）的$\mathcal{R^2} \rightarrow \mathcal{R^2} \(线性变换，\)S\(是一个\)\mathcal{R^2} \(上的平行四边形，那么 \)T(S)$的面积 = \(\det A \cdot\) \(S\)的面积
如果\(T\)是一个由\(3\times 3\)矩阵\(A\)所决定（描述）的$\mathcal{R^3} \rightarrow \mathcal{R^3} \(线性变换，\)S\(是一个\)\mathcal{R^3} \(上的平行六面体，那么 \)T(S)$的体积 = \(\det A \cdot\) \(S\)的体积
这个证明也是先占坑，后面再来填上。
Proof of Thm10
(证明过程应该放在这里...)
参考文献
- David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications(4th)
- 复旦大学高等数学教案之两重积分的计算——http://math.fudan.edu.cn/gdsx/JIAOAN/二重积分的计算.pdf
