0.前言

这种东西不知道是怎么发明出来了的。感觉很 nb。

但是应该比 KMP 简单些吧。

oi-wiki

1.概念

SAM，即后缀自动机，是对于一个字符串 $s$ 来说能够表示其所有子串/后缀的 DFA。实际上 SAM 是一个 DAG，上面有若干点代表若干状态，其中有一个初始状态 $t_0$，这些状态所代表的字符串可能不止一个，SAM 上的边代表若干转移，每个转移是一个字母，从一个状态连接到另一个状态。SAM 上的每条从 $t_0$ 作为起始点的路径上的所有转移所组成的字符串实际上是原字符串 $s$ 的某个子串，这个子串属于这条路径的终点的状态所代表的字符串集合。

2.神秘性质

right 集合

首先我们定义：对于字符串 $s$ 的一个非空子串 $s_0$，其 right 集合为 $s_0$ 在 $s$ 中出现的所有结束位置。

显然，可以得到如下性质：

1. SAM 上的一个状态对应着若干 right 集合相同的子串，如果将这些子串按长度从小到大排序之后，它们的长度连续。

2. $\begin{cases} right(x) \subseteq right(y) & \text{if y is a suffix of x.}\\ right(x) \cap right(y) = \phi & \text{otherwise.} \end{cases}$

3. 如果子串 $x$ 与 $y$ 的 right 集合相同，那么较短的那个一定是较长的后缀。

后缀链接 fa

根据 right 集合的性质，我们可以根据 SAM 的 DAG 构建 Parent Tree。

对于状态 $X$，其后缀链接就是连接到 right 集合不同的最长后缀所属状态 $Y$ 上。

令 $t$ 为状态 $X$ 中最长的字符串，现在我们知道字符串 $t$ 的前若干个后缀的 right 集合与 $t$ 相同，而后若干个后缀的 right 集合不与 $t$ 相同，令满足后者的最长后缀为 $v$，则 $right(t) \subseteq right(v)$。
这就相当于不断地在 $t$ 的开头删除字母，所得到的字符串长度会越来越短，当删到某一个后缀 $v$ 时，发现其不仅在 $t$ 出现的这些地方出现过，还在原串 $s$ 的其他地方出现过。所以其 right 集合会变大，且包含 $right(t)$ 中的元素。
那么 $X$ 的后缀链接会连接到 $v$ 所在状态 $Y$ 上。

• 所有的后缀链接会构成一棵以 $t_0$ 为根节点的树。

• 通过 right 集合构造的树（每个子节点的 right 集合都包含在父节点的 right 集合中）与通过后缀链接构造的树相同。

• 在维护 SAM 的时候，通常会记录状态所代表子串的最大长度 $len_u$，可以发现，在 Parent Tree 上，一个状态代表子串的长度范围应为 $[len_{fa_u} + 1,len_u]$。

上述性质是显然的。我们建出来的自动机实际上是 DAG + Parent Tree。

3.构造 SAM

令一个状态 $u$ 代表子串中最长子串为 $longest(u)$。

当前字符串为 $s$，新加入的字符为 $c$，新添加的状态为 $u$。构造过程如下：

从上一次 $s$ 的状态 $p$ 开始向上跳后缀链接，直到 $p$ 在 DAG 上有一条为 $c$ 的转移；
如果没有找到，那么我们添加的就是一个新字母，$fa_u = t_0$ 即可。如果找到了，令这个转移到的状态为 $q$：

1. 如果 $len_q = len_p + 1$，证明 $q$ 只代表 $longest(p) + c$ 这一个子串，直接将 $u$ 的后缀链接到 $q$；
2. 如果 $len_q > len_p + 1$，证明 $q$ 不止代表 $longest(p) + c$ 这一个子串，这时我们需要将 $q$ 拆开，拆为一个只代表 $longest(p) + c$ 这一个子串的状态 $now$ 和剩余部分 $q'$，将 $now$ 的后缀链接连接到 $p$，并将 $q'$ 与 $u$ 的后缀链接连接到 $now$，接着，我们继续用 $p$ 通过后缀链接向上跳，如果存在状态有为 $c$ 的转移是指向原本的 $q$ 的，将其指向 $now$。

这么做是因为我们从 $s$ 所属状态开始跳后缀链接，而达到的点均为 $s$ 的后缀，当这些后缀中存在为 $c$ 的转移时，这个转移所到达的状态一定是 $s + c$ 的一个后缀且是最长的 right 集合与 $right(u)$ 不同的后缀。

SAM 便构造完毕。

4.不错的应用

oi-wiki 已经足够详细。