决策单调性优化 DP

前言

本文将介绍决策单调性优化 DP 的相关内容。持续更新修正，如有差错请指出。

1.四边形不等式优化 DP

1.1 四边形不等式与决策单调性

• 四边形不等式：如果对于任意的 \(a \le b \le c \le d\) 均成立

\[w(a,d) + w(b,c) \ge w(a,c) + w(b,d) \]

则称代价函数 \(w\) 满足四边形不等式。观察上述形式，即包含劣于相交，注意这是当我们要求代价函数 \(w\) 最小时四边形不等式的符号，如果我们要求 \(w\) 最大，相当于对其取相反数，那么相应的，此时的四边形不等式需要变号。
四边形不等式优化利用的是状态转移方程中的决策单调性，通常用于解决一系列的最优化问题。
在解决动态规划相关问题的时候，通常会遇到以下这种形式

\[f_i = \min\limits_{j < i} \{ f_j + w(j,i)\} \]

其中 \(\min\) 也可能是 \(\max\)。一般情形下，这类问题解决的时间复杂度为 \(\mathcal{O(n^2)}\)，如果 \(f\) 具有决策单调性，那么就可以将时间复杂度优化至 \(\mathcal{O(n\log n)}\) 甚至 \(\mathcal{O(n)}\)。

• 决策单调性：设 \(p_i\) 表示 \(f_i\) 取到最小值时 \(j\) 的值（如果有多个 \(j\) 满足则取最小），即 \(f_i\) 的最优决策点。当代价函数 \(w\) 满足四边形不等式时，\(p_i\) 在 \([1,n]\) 上单调不降，\(f\) 具有决策单调性。则我们有

\[\forall i \in [1,n],j \in [0,p_i),f_{p_i} + w(p_i,i) \le f_j + w(j,i) \]

要证明这一点，可以使用反证法。假设对于 \(f_i,f_j(i < j)\)，其最优决策点 \(p_j < p_i\)，此时 \(p_j < p_i < i < j\)，据四边形不等式有 $$w(p_j,j) + w(p_i,i) \ge w(p_j,i) + w(p_i,j)$$但是根据决策点的最优化条件又有 \(w(p_i,i) \le w(p_j,i),w(p_j,j) \le w(p_i,i)\)，即 $$w(p_j,j) + w(p_i,i) \le w(p_j,i) + w(p_i,j)$$与四边形不等式矛盾。
由此得证。

对于 \(f_i\)，其具有最小/最大最优决策点，将上述对 \(p_i\) 的定义更换为取最大后，关于原 \(p_i\) 的所有结论都是同样成立的，最大最优决策点同样具有单调不降的性质。注意可能存在 \(i < i'\)，但是 \(i'\) 的最大最优决策点小于 \(i'\) 的最小最优决策点，故一般题目当中我们都默认只取最小（大）最优决策点来转移。

1.2 解题套路

通常我们先写出 \(f_i\) 的转移式子，大多数情况下，通常使用

\[w(j,i + 1) + w(j + 1,i) \ge w(j,i) + w(j + 1,i + 1) \]

来检验代价函数是否满足四边形不等式。

然后对于一个决策，取它作为最优决策点的 \(f_i\) 所组成的是一个区间。对于决策 \(p_i < p_{i'}\)，则这两种决策能成为最优决策的区间 \([l_{p_i},r_{p_i}],[l_{p_{i'}},r_{p_{i'}}]\)，有 \(r_{p_i} < l_{p_{i'}}\)。

我们写一个二分函数 \(check(j,i)\) 计算出第一个以 \(j\) 作为最优决策不如以 \(i\) 作为最优决策优秀的点，那么可以使用单调队列来维护最优决策点，并进行 DP 转移了。

2.斜率优化 DP

给出例题。

• P3195 玩具装箱

对于 \([l,r]\) ，其代价为 \((r - l + \sum_{i = l}^r c_i - L)^2\)。

首先对 \(c_i\) 做前缀和。考虑暴力，对于每个 \(i\) 去枚举 \(j\)，则有

\[dp_i = min\{dp_j + (i - j - 1 + c_i - c_j - L)^2\} \]

rep(i,1,n) {
    dp[i] = inff;
    rep1(j,i - 1,0)
        chmin(dp[i],dp[j] + (i - j - 1 + c[i] - c[j] - L) * (i - j - 1 + c[i] - c[j] - L));
}

现在进行优化，把上述式子变形，把 \(1\) 放入 \(L\) 中，\(i,j\) 分别放入 \(c_i,c_j\) 中，有 \((c_i - c_j - L)^2\)，把式子里的“常量”提出来展开，变为

\[dp_i - (c_i - L)^2 =dp_j - 2 \times (c_i - L) \times c_j + c_j^2 \]

接下来考虑进行斜率优化，对于一个一次函数 \(y = kx + b\)，通常推式子时有以下操作：

1. 把要求最小值的式子作为截距，即 \(b = dp_i - (c_i - L)^2\)
2. 把另一边的式子变为 \(y - kx\) 的形式，其中 \(y\) 只与 \(j\) 有关，\(kx\) 同时与 \(i,j\) 有关

\[y = dp_j + c_j^2\\ k = 2(c_i - L)\\ x = c_j\\ b = dp_i - (c_i - L)^2 \]

显然，\(b_i\) 取到最小值的点在这个下凸壳上，因为这个斜率是单调的，可以考虑用单调队列来维护，此时 \(\text{slope}(q_{i - 1},q_i) < \text{slope}(q_{i},q_{i +1})\)。

那么当 \(\text{slope}(q_{i - 1},q_i) \leq k < \text{slope}(q_i,q_{i + 1})\)，\(b\) 在 \(q_i\) 上取得最小值。

代码就很好写了。

il db slope(int i,int j) {
    return (db)(y[i] - y[j]) * 1.0 / (db)(x[i] - x[j]);
}

il void solve() {
    //------------code------------
    read(n,L); 
    ++ L;
    rep(i,1,n) read(c[i]),c[i] += c[i - 1];
    rep(i,1,n) c[i] += i;
    rep(i,1,n) {
        int k = 2ll * (c[i] - L);
        while (hh <= tt && slope(q[hh - 1],q[hh]) <= k * 1.0) ++ hh;
        dp[i] = y[q[hh - 1]] - k * x[q[hh - 1]] + (c[i] - L) * (c[i] - L);
        x[i] = c[i],y[i] = dp[i] + c[i] * c[i];
        while (hh <= tt && slope(q[tt - 1],q[tt]) >= slope(q[tt],i)) -- tt;
        q[++ tt] = i;
    }
    write(dp[n],'\n');
    return ;
}