线段树用法技巧总结

常见信息维护

区间和，区间乘积，区间 \(\max ,\min\)；

最大子段和：考虑维护最大前后缀，根据最大前后缀能维护最大子段和。
具体的，
\(suml(l,r) = \max(suml(l,mid),sum(l,mid) + suml(mid + 1,r))\)
\(sumr(l,r) = \max(sumr(mid + 1,r),sum(mid + 1,r) + sumr(l,mid))\)
\(ans(l,r) = \max(ans(l,mid),ans(mid + 1,r),sumr(l,mid) + suml(mid + 1,r))\)

最大上升子串：类似于最大子段和。
具体的，考虑维护前后缀最大上升子串，然后区间合并判断 \(a_{mid}\) 与 \(a_{mid + 1}\) 能否满足合并条件即可。

最大不相邻子集和：考虑维护四个信息 \(f_{0/1,0/1}\)，其中第一个 \(0/1\) 表示选出的不相邻子集是否可含有左端点 \(l\)（\(0\) 表示不能，\(1\) 表示能）；第二个同理，表示是否可含有 \(r\)。
具体的，
\(f(l,r)_ {0,0} = \max(f(l,mid)_ {0,1} + f(mid + 1,r)_ {0,0},f(l,mid)_ {0,0} + f(mid + 1,r)_ {1,0})\)
\(f(l,r)_ {0,1} = \max(f(l,mid)_ {0,1} + f(mid + 1,r)_ {0,1},f(l,mid)_ {0,0} + f(mid + 1,r)_ {1,1})\)
\(f(l,r)_ {1,0} = \max(f(l,mid)_ {1,0} + f(mid + 1,r)_ {1,0},f(l,mid)_ {1,1} + f(mid + 1,r)_ {0,0})\)
\(f(l,r)_ {1,1} = \max(f(l,mid)_ {1,0} + f(mid + 1,r)_ {1,1},f(l,mid)_ {1,1} + f(mid + 1,r)_ {0,1})\)

区间平方和：叶子节点设为 \(w^2\) 即可加和维护。
对于区间加，展开即可：
\(sqsum(l,r) = sqsum(l,r) + 2 \times tag \times sum(l,r) + (r - l + 1) \times tag^2\)

区间方差：展开原式，容易得到方差即为区间平方和除以 \(n\) 减去区间平均数。

待记录。。

势能分析

对于一些线段树操作，当 \([ql,qr] \in [l,r]\) 的时候就不能直接打标记，而是需要继续递归下去才能完成这些操作，那么就需要对线段树势能的分析来保证时间复杂度，使 \([l,r]\) 递归到满足某种条件的时候能够直接操作并停止递归。此类线段树称作势能线段树。

常见势能分析

区间开方：定义线段树一个区间的势能为 \(\max\) 需要开方多少次才会变为 \(1\)。

当对于 \([l,r]\) 势能为 \(0\)，那么就不管这个区间。（实际上就是 \([l,r]\) 全为 \(1\)）

区间取模：定义势能为 \(\max\) 还需要取模多少次才会小于 \(mod\)。

当 \([l,r]\) 的 \(\max\) 小于 \(mod\) 的时候就不用递归下去了，因为每次取模值至少减少一半，所以是 \(\log\) 的。

区间赋值为 \(\tau(x)\)：对于一个数 \(x\)，\(\tau(x)\) 最大为 \(\frac{x}{2}\)，故也是 \(\log\) 的。

区间除法下取整：维护 \([l,r]\) 的 \(\max,\min\)，如果这个区间 \(\max - \lfloor \frac{\max}{x} \rfloor = \min - \lfloor \frac{\min}{x} \rfloor\)，那么这个除法操作对于这个区间的修改等价于区间加法。

区间按位与 + 或：维护区间与/或，当这次操作对区间与和区间或造成的变化量相同，则可以直接打区间加法的 \(tag\)。

待记录。。