杜教筛

前置：数论分块，莫比乌斯反演，狄利克雷卷积，欧拉函数。
对于数论函数 $f(n)$，杜教筛能够在线性的时间复杂度内求得 $\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)$ 的值。
只要我们能够构造出另一个数论函数 $g(n)$，使得 $\sum\limits_{i=1}^{n}(f * g)(i)$ 能够以较快的时间复杂度求得，我们便能够使用杜教筛求得 $\sum\limits_{i = 1}^{n} f(i)$ 的值。
我们设 $S(n) = \sum\limits_{i = 1}^{n} f(i)$，我们则需要考虑构造出一个与 $S(n)$ 有关的式子。

对于 $\sum\limits_{i = 1}^{n} (f * g)(i)$，有，

注意此处我们将 $\sum\limits_{i = 1}^{n} (f * g)(i)$ 使用狄利克雷卷积展开为 $g(d) f(\frac{i}{d})$ 而非 $f(d) g(\frac{i}{d})$ 的原因是为了构造出 $S$。
枚举 $d$，转换一下式子得，

把 $g(d)$ 提出来，

根据 $S(n)$ 的定义，后面这块式子可以变为 $S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$，

为了构造 $S(n)$，我们把 $d = 1$ 时的式子拆开来

移项可得：

那么，对于 $f(n)$，我们只要找到一个合适的数论函数 $g(n)$ 便能够求解 $S(n)$。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数，即 $\mu(n)$。

我们令 $g(n) = 1$。

至此，便可用数论分块求得。

il int get_mu(int x) {
    if (x <= 10000000) return mu[x];
    if (res2[x]) return res2[x];
    int res = 1;
    for (ll l = 2,r; l <= x; l = r + 1 ) {
        r = x / (x / l);
        res -= (r - l + 1) * get_mu(x / l);
    }
    return res2[x] = res;
}

欧拉函数

欧拉函数，即 $\varphi(n)$。

同样，令 $g(n) = 1$。

至此，我们也能够使用数论分块解决。

il ll get_phi(ll x) {
    if (x <= 10000000) return phi[x];
    if (res1[x]) return res1[x];
    ll res = 1ll * (1ll + x) * x / 2ll;
    for (ll l = 2,r; l <= x; l = r + 1 ) {
        r = x / (x / l);
        res -= 1ll * (r - l + 1ll) * get_phi(x / l);
    }
    return res1[x] = res;
}

时间复杂度

不会证明。

因为使用的数论分块递归，时间复杂度是 $\mathcal{O(n^{\frac{3}{4}})}$。
但是如果我们提前预处理出前 $n^{\frac{2}{3}}$ 的函数的值，则可以在 $\mathcal{O(n^{\frac{2}{3}})}$ 的时间复杂度内解决。