欧几里得算法

用于求解两个数 $a,b$ 的最大公约数，$\gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b)$，为了方便证明，我们约定 $a > b$，证明：

设 $r = a \bmod b = a - k \cdot b$，$d \mid a$ 且 $d \mid b$，显然 $a = k \cdot b + r$，那么 $\frac{r}{d} = \frac{a}{d} - \frac{k \cdot b}{d}$，因为 $\frac{a}{d} - \frac{k \cdot b}{d}$ 显然为整数，所以 $\frac{r}{d}$ 也为整数，所以可证 $\gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b)$。$\Box$

所以我们就可以写出如下代码：

il int gcd(int a,int b) {
	return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

因为每次进行取模再递归，所以时间复杂度为 $\mathcal{O(\log a)}$。

扩展欧几里得算法

用于求 $ax + by = \gcd(a,b)$ 的一组可行解。

前置知识：裴蜀定理：对于任意整数 $a,b$，存在一对整数 $x,y$，满足 $ax+by=\gcd(a,b)$。

推导：

由欧几里得算法，可得 $ax_1 + by_1 = \gcd(a,b)$ 等同于 $bx_2 + (a \bmod b)y_2 = \gcd(b,a \bmod b)$。

所以 $ax_1 + by_1 = bx_2 + (a \bmod b)y_2$，将 $a \bmod b$ 转换，得到 $ax_1 + by_1 = bx_2 + (a - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \cdot b)y_2$。

把式子拆开 $ax_1 + by_1 = bx_2 + ay_2 - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \cdot b \cdot y_2$，

合并 $ax_1 + by_1 = ay_2 + b \cdot (x_2 - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \cdot y_2)$，

得到 $x_1 = y_2,y_1 = (x_2 - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \cdot y_2)$，那么我们就可以根据这个，不断递归求解，当递归到 $b = 0$ 时，返回 $a$ 的值即可，为了方便操作，可以将 $x,y$ 取地址。

可以写出如下代码：

il int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
	if (!b) {
		x = 1; y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b,a % b,y,x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

一般的，对于 $ax + by = c$，我们可以知道，该方程有整数解当且仅当 $\gcd(a,b) \mid c$。

此时我们可以优先求解 $ax' + by' = \gcd(a,b)$，令 $d = \gcd(a,b)$，我们可以得到方程的通解为