BZOJ 1061 [Noi2008]志愿者招募

1061: [Noi2008]志愿者招募

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Description

 

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

14

HINT

 

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

题解：单纯形裸题，直接上模板即可；（单纯形，后面我会更新讲解的Orz）

设某天需要 第xi​ 个志愿者的数量，记 mij​ 表示第 i 天第 j个志愿者是否能工作，则它们需要满足如下条件：

于是所需费用即 C1​x1​+C2​x2​+⋯+Cm​xm​，需要令它最小化。

可以看出，这是一个线性规划问题。

由于它是最小化型线性规划，不是标准形式的。因此，可以利用线性规划对偶定理 (证明可以百度等，比如这里) 将其转化为一个最大化型线性规划：

由于 Ci​ 都是 q 0≥0 的整数，于是上面的线性规划就有基本解 (零解)。于是写个最单纯的单纯形法就可以了 (连 init() 都不用写~)。

具体地过程，就是寻找大于 00 的非基 (自由) 变量转化成基变量，然后转轴 (注意代码实现时和 Gauss 消元的区别)，最后得到的就是最小花费。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define lowbit(x) x&-x
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
} 
const int M=10005;
const int N=1005;
const double eps=1e-6;
int n,m;
double a[M][N],b[M],c[N],v;
inline void pivot(int l,int e)//矩阵的转秩
{
    b[l]/=a[l][e];
    for(int j=1;j<=n;++j)
    {
        if(j!=e) a[l][j]/=a[l][e];        
    }
    a[l][e]=1/a[l][e];
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        if(i!=l&&fabs(a[i][e])>0)
        {
            b[i]-=a[i][e]*b[l];
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(j!=e) a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j];
            }
            a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e];
        }
    }
    v+=c[e]*b[l];
    for(int j=1;j<=n;++j)
    {
        if(j!=e) c[j]-=c[e]*a[l][j];
    }
    c[e]=-c[e]*a[l][e];
}

inline double simplex()
{
    while(1)
    {
        int e=0,l=0;
        for(e=1;e<=n;++e)
        {
            if(c[e]>eps) break;
        }
        if(e==n+1) return v;
        double mn=INF;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            if(a[i][e]>eps&&mn>b[i]/a[i][e]) mn=b[i]/a[i][e],l=i;
        }
        if(mn==INF) return INF;
        pivot(l,e);
    }
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) c[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;++i) 
    {
        int s,t;
        s=read(),t=read();
        for(int j=s;j<=t;++j) a[i][j]=1;
        b[i]=read();
    }
    printf("%d\n",(int)(simplex()+0.5));
    return 0;
}