团饱和图：（二）团饱和图与锥尖

Posted on 2019-04-01 20:21 sunny_math 阅读(431) 评论(0) 编辑收藏举报

团饱和图：（二）团饱和图与锥尖

那么，一般的团饱和图应该具有什么结构呢？我们还是回头看EHM定理所给出的图：$K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}$．它有一个特点，就是度的分布尽可能地不均匀．这个图的顶点度数只有两种情况，即最大度$n-1$和最小度$s-2$．

对任何一个$n$阶$K_s$-饱和图$G$来说，显然有$\delta\ge s-2$，这是团饱和图的必要条件之一．可见在$K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}$中，最大度和最小度都已经到达了极致，而且没有其他度数．而$\Delta=n-1$就意味着，这个图中最大度点与其他所有点都相邻，A. Hajnal称这种点为锥尖（也有图论学者开玩笑说这是“政治家”）．那么，锥尖的存在是不是团饱和图的另一个本质属性呢？不是，很容易举出没有锥尖的团饱和图．例如$C_4$是$K_3$-饱和图，但是没有锥尖．再比如，$C_6^2$，即在$C_6$上每隔一点连一边所得的图，它是$K_4$-饱和的，但是没有锥尖．请注意，这两个图有一个共同点，那就是：它们每个点的度都至少是$2(s-2)$．据此，T. Gallai提出猜想：

猜想没有锥尖的$n$阶$K_s$-饱和图的最小度至少为$2(s-2)$．

这个猜想后来在1965年被A. Hajnal证明了．为此，Hajnal首先证明了如下两个引理．

引理 1.2.1 设图$G$共有$t$个最大团，记作$A_1,A_2,\dots,A_t$．设$1\le r\le t$，记

\[\Phi(r)=\bigcup_{i=1}^rA_i,~\Psi(r)=\bigcap_{i=1}^rA_i.$$那么，$$|\Phi(r)|+|\Psi(r)|\ge 2\omega(G). \]

对于图$G$以及图$G$上一点$v$，记$\overline{N}(v)=V(G)-N(v)$．设$\emptyset\ne W\subseteq V(G)$，记$$\overline{N}(W)=\bigcup_{w\in W}\overline{N}(w).$$

引理 1.2.2 设$G$是一个$K_s$-饱和图并且没有锥尖，$W$是$V(G)$的非空子集．如果$W\cap \overline{N}(W)=\emptyset$，那么$|\overline{N}(W)|\ge |W|$．

证明对$|W|$作归纳．当$|W|=1$时，由于$G$没有锥尖，所以结论显然成立．假定$|W|\le r$时结论成立，现在考虑$|W|=r+1$的情况．设$W=\{w_i:1=1,2,\dots,r+1\},~W_0=W-\{w_{r+1}\}$．

假设$|\overline{N}(W)|\le r$．由归纳假设可知，$|\overline{N}(W_0)|\ge r$．所以$|\overline{N}(W)|=|\overline{N}(W_0)|=r$．可见，$$\overline{N}(W)=\overline{N}(W_0)$$又由归纳假设可知，对所有$X\subset W_0$，$|X|\le |\overline{N}(X)|$．由K"{o}nig婚姻定理可知，我们可以将$\overline{N}(W_0)$排序为$\overline{N}(W_0)=\{u_1,u_2,\dots,u_r\}$，使得$w_iu_i\not\in E(G)$，$i=1,2,\dots,r$．

考虑$w_{r+1}$．由于$G$没有锥尖，所以$\overline{N}(w_{r+1})\ne\emptyset$．又因为$\overline{N}(W)=\overline{N}(W_0)$，所以存在某个$u_i$，使得$w_{r+1}u_i\ne E(G)$，不妨设这个$u_i$是$u_1$．因为$w_{r+1}u_1\ne E(G)$且$G$是一个$K_s$-饱和图，所以$N(w_{r+1})\cap N(u_1)$中存在一个$(s-2)$-团，记之为$K$．由于$w_1,w_{r+1},u_1\not\in K$且$w_i$和$u_i$不可能都在$K$中，所以$$\big|K\cap(W\cup \overline{N}(W))\big|\le r-1.$$令$U=K-(W\cup \overline{N}(W))$，则$|U|\ge (s-2)-(r-1)=s-r-1$．所以$|U\cup W|\ge(s-r-1)+r+1=s$．下面证明$U\cup W$是一个团．

任取$x,y\in U\cup W$．如果$x,y\in U$，则显然$xy\in E(G)$．如果$x$和$y$中有其一属于$W$，不妨设$x\in W$，因为$W\cap \overline{N}(W)=\emptyset$，所以$x\not\in \overline{N}(W)$．进一步地，如果$y$也属于$W$，那么$xy\in E(G)$；如果$y\in U$，那么$y\not\in \overline{N}(W)$，但是$x\in W$，依然有$xy\in E(G)$．可见$U\cup W$是一个团．但是$|U\cup W|\ge s$，这与$G$是$K_s$-饱和图矛盾．$\blacksquare$

定理1.2.3 设$G$是一个没有锥尖的$n$阶$K_s$-饱和图．那么$\delta(G)\ge 2(s-2)$．

证明不妨设$s\ge3$．假设$\delta(G)\le 2s-5$．那么存在$v\in V(G)$，使得$\deg(v)\le 2s-5$．设$G$中所有包含点$v$的$(s-1)$-团分别为：$A_1,A_2,\dots,A_t$．记$$A=\bigcup_{i=1}^tA_i.$$那么$|A|=1+|N(v)|-|N(v)-A|\le 2s-4-|N(v)-A|$．由前述引理可知$$\left|\bigcap_{i=1}^tA_i\right|\ge|N(v)-A|+2.$$

令$$B=\bigcap_{i=1}^tA_i-{v},$$则$$|B|\ge|N(v)-A|+1.$$下面证明$\overline{N}(B)\subseteq N(v)-A$．设$u\not\in N(v)-A$，我们只需证明$u$与$B$中所有点都相邻．若$u\in N[v]$，则$u\in A$，那么显然有$u$与$B$中所有点都相邻．若$u\not\in N[v]$，则$u\in N_2(v)$．由于$uv\not\in E(G)$，所以$N(u)\cap N(v)$中存在一个$(s-2)$-团$K$．而$K\cup \{v\}$是是一个$(s-1)$-团，所以它是某个$A_i$，所以$B\subseteq K\subseteq N(u)$，所以$u$与$B$中每个顶点都相邻．因此，$\overline{N}(B)\subseteq N(v)-A$．

因为$|B|\ge|N(v)-A|+1$和$\overline{N}(B)\subseteq N(v)-A$，所以$B\cap \overline{N}(B)=\emptyset$并且$|\overline{N}(B)|\le |N(v)-A|\le |B|-1<|B|$．这与前述引理矛盾．$\blacksquare$

使用定理1.2.3可以给出EHM定理的(i)的另一个证明．

证明设$G$是最小的$n$阶$K_s$-饱和图．下面证明$e(G)\le (s-2)n-\binom{s-1}{2}$．对$s$作归纳．当$s=2$时结论显然，假定$s$较小时结论成立，现在考虑$s$的情况．

如果$G$没有锥尖，那么由定理1.2.3可知，$\delta(G)\ge 2(s-2)$，那么$e(G)\ge \frac{1}{2}n\cdot 2(s-2)=(s-2)n>(s-2)n-\binom{s-1}{2}$．不妨设$G$有锥尖$v$．令$G'=G-\{v\}$．那么$G'$是$(n-1)$阶$K_{s-1}$-饱和图，由归纳假设可知，$e(G)=(n-1)+e(G')\le n-1+(s-3)(n-1)-\binom{s-2}{2}=(s-2)n-\binom{s-1}{2}$．可见$sat(n,K_s)\le (s-2)n-\binom{s-1}{2}$．另一方面，$K_{s-2}+\overline{K_{n-s+2}}$就是一个边数为$(s-2)n-\binom{s-1}{2}$的$n$阶$K_s$-饱和图，因此$sat(n,K_s)= (s-2)n-\binom{s-1}{2}$. $\blacksquare$

那么究竟哪些点是锥尖，下面这个引理给出部分答案．

引理 1.2.4 设$G$是一个$n$阶$K_s$-饱和图且$s\ge3$．令$\Psi$是$G$中所有$(s-1)$-团的交．那么图$G$中所有锥尖的集合就是$\Psi$．

注意此引理中出现$\Psi$是$G$中{\color{blue}\bf 所有}$(s-1)$-团的交，这与定理1.2.3不同，定理1.2.3中出现的交集是所有包含$v$的$(s-1)$-团的交，因而不能用此引理证明定理1.2.3．

证明设$G$中所有锥尖的集合为$A$．任取$v\in A$，假设存在一个$(s-1)$-团不包含$v$，那么将$v$加入这个团就得到一个$s$-团，矛盾．所以$A\subseteq\Psi$．任取$w\in\Psi$，假设存在$u\in V(G)$，使得$uw\not\in E(G)$．因为$G$是$K_s$-饱和的，所以在$N(u)\cap N(w)$中存在一个$(s-2)$-团$K$，那么$K\cup \{u\}$是一个$(s-1)$-团．因为$\Psi$是$G$上所有$(s-1)$-团的交，所以$\Psi\subseteq K\cup \{u\}$．但是另一方面$w\not\in K$，矛盾．所以$\Psi\subseteq A$．$\blacksquare$

从这个引理很容易理解为什么$C_4$和$C_6^2$分别是$K_3$-和$K_4$-饱和的却没有锥尖，因为：它们的所有$(s-1)$-团之交为空集．

由引理1.2.1和1.2.4很容易证明：$n$阶$K_s$-饱和图的锥尖至少$2(s-1)-n$个，也就是如下推论．
推论 $n$阶$K_s$-饱和图的锥尖至少$2(s-1)-n$个.

至此，团饱和图与锥尖的关系已经差不多搞清楚了．A. Hajnal进一步又提出了一个问题：没有锥尖的团饱和图的最小边数是多少，这种极图又是什么样？更一般地，对于正常数$D$，满足$\Delta\le D$的团饱和图的最小边数是多少，其极图又是什么样？这个问题我们将在随后几节展开讨论．

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