拓扑图论基础：（三）平面图与可平面性
折线·闭折线·简单闭折线
设\(A\)是平面\(\mathbb{E}^2\)上的曲线．如果\(A\)是平面上有限个直线段的并，那么我们称\(A\)是平面上的一条折线．类似地，我们可以定义闭折线．如果\(A\)既是简单曲线又是折线，那么我们就称\(A\)是简单折线；同样地，如果\(A\)既是简单闭曲线又是折线，那么我们就称\(A\)是简单闭折线．
引理（简单折线） 设\(\Omega\)是平面上的一个弧连通的开集．那么\(\Omega\)内任意两点都可以被\(\Omega\)内的一条简单折线连接．
证明 任取\(x,y\in \Omega\)．因为\(\Omega\)是弧连通的，所以\(\Omega\)中存在连接\(x,y\)的简单曲线\(A\)．对每个\(z\in A\)，存在以\(z\)为心的开的圆盘\(B(z)\subseteq \Omega\)，所以\(\{B(z):z\in A\}\)是\(A\)的一个开覆盖．因为连续映射保持紧致性，所以\(A\)在\(\Omega\)上是紧致的．所以\(\{B(z):z\in A\}\)有一个有限子覆盖，记作\(\{B(z_i):i=1,2,\dots,k\}\)．这样就很容易构造包含于\(\cup_{i=1}^kB(z_i)\)的、连接\(x,y\)的折线了．\(\blacksquare\)
Jordan曲线定理
使用引理（简单折线），很容易证明如下引理．
引理（折线平面嵌入） 任何可平面图都有一个平面嵌入，使得每条边都是简单折线．\(\blacksquare\)
事实上还可以进一步证明，任何可平面图都有一个直线平面嵌入，也就是每个边都是直线段的嵌入．这个定理证明很复杂，这里不予给出．
定理（直线平面嵌入） 任何可平面图都有一个平面嵌入，使得每条边都是直线段．\(\blacksquare\)
使用引理（简单折线），还能证明著名的Jordan曲线定理．它的证明极其繁琐复杂，我们在这里不予给出．
Jordan曲线定理 平面\(\mathbb{E}^2\)上任何简单闭曲线\(C\)的补是两个区域，一个有界，一个无界．\(\blacksquare\)
Jordan曲线定理事实上表明，\(\mathbb{E}^2\)上任何两个只有有限个公共点的简单曲线必然相交偶数次．
需要注意的是：Jordan曲线定理在闭曲面上并不成立．比如球面上的简单闭曲线分出两个有界的区域．环面的经线和纬线都只能分出一个区域．
设\(C\)是平面\(\mathbb{E}^2\)上的一条简单闭曲线，由Jordan曲线定理可知，\(\mathbb{E}^2\setminus C\)是两个区域，其中有界的区域称为\(C\)的内域，记作\({\rm Int}(C)\)，无界的区域称为\(C\)的外域，记作\({\rm Ext}(C)\)．
特别地，如果\(G\)是平面图，那么在\(F(G)\)中有一个面是无界的，我们称之为外面；其他面都是有界的，我们称之为内面．
可平面性
使用Jordan曲线定理可以证明：包含\(K_5\)-细分(subdivision)和\(K_{3,3}\)-细分的图都不可平化．事实上，这是可平面性的充要条件，也就是著名的Kuratowski定理，该证明复杂，此处不予呈现．
Kuratowski定理 一个图是可平面的当且仅当它不包含\(K_5\)-细分和\(K_{3,3}\)-细分．
与之相关的另一个重要定理就是Wagner定理．
Wagner定理 一个图是可平面的当且仅当它不包含\(K_5\)-minor和\(K_{3,3}\)-minor．
