#10119. 「一本通 4.2 例 1」数列区间最大值 & P1816 忠诚（ST算法）

• https://loj.ac/problem/10119 & https://www.luogu.org/problemnew/show/P1816

• 时间复杂度：O(nlogn)+O(m)；(n为个数,m为问题数)

• 思路：详见信息学奥赛一本通；

1. 预处理：ST算法实际是DP；a[MAXN]存数，f[i][j](f[MAXN][21])表示a[i]~a[i+2的j次方-1]范围内最大值（即a[i]为起点连续2的j次方个数的最大值）；从中间平均分成两部分，每部分元素刚好2的j-1次方个，即，f[i][j]分为f[i][j-1]和f[i+2的j-1次方][j-1]。故得到状态转移方程f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2的j-1次方][j-1])，边界条件f[i][0]=a[i]。

2. 询问：询问[li,ri]间最大值（即max，最小值即min），先求出x满足2的x次方<=ri-li+1，那么区间[li,ri]=[li,li+2的x次方-1]∩[ri-2的x次方+1,ri]，两个区间元素均为2的x次方个，所以[li,ri]最大值为max(f[li][x],f[ri-2的x次方+1][x])（∵有交集）。直接给表达式：k=log2(y-x+1)；ans=max(f[x][k],f[y-2的k次方+1][k])。

3. 技巧（待证明）：log2函数效率低，故可用O(N)递推预处理出1~N这N种区间长度各自对应的k值，具体操作：lg[d]数组表示log2d向下取整，则lg[d]=lg[d/2]+1;

• 代码：最大值max最小值min

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int MAXN=1e6+2;
  int n,m;
  int a[MAXN],lg[MAXN],f[MAXN][21];
  int main(){
      cin>>n>>m;
      for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); //存数
      lg[0]=-1;
      for(int i=1;i<=n;i++)
          f[i][0]=a[i],lg[i]=lg[i>>1]+1; //边界处理+技巧lg数组
      for(int i=1;i<=20;i++) //一般最大到2的20次方即可
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++) //j+(1<<i)-1<=n即区间边界不可超过n;1<<i即2的i次方 
          f[j][i]=max(f[j][i-1],f[j+(1<<i-1)][i-1]); //状态转移方程f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2的j-1次方][j-1])
      int x,y;
      for(int i=1;i<=m;i++){
          scanf("%d%d",&x,&y);
          int s=lg[y-x+1]; //技巧lg数组 
          printf("%d\n",max(f[x][s],f[y-(1<<s)+1][s])); //max(f[li][x],f[ri-2的x次方+1][x])（∵有交集） 
      }
      return 0;
  }