洛谷——P1349 广义斐波那契数列（矩阵加速）

P1349 广义斐波那契数列

 

 

题目描述

广义的斐波那契数列是指形如$an=p\times a_{n-1}+q\times a_{n-2}$?的数列。今给定数列的两系数$p$和$q$，以及数列的最前两项$a_1$和$a_2$，另给出两个整数$n$和$m$，试求数列的第$n$项$a_n$除以$m$的余数。

 

矩阵乘法大法好，太好用了

 

斐波那契通项公式变成了

$F[n]=p*F[n-2]+q*F[n-1]$

那么转移矩阵也随之改变，如何求解这个转移矩阵呢？

根据通项公式以及矩阵乘法法则：

$F[n-2],F[n-1]$ <-这是一个$1*2$的初始矩阵

$F[n-1],F[n]$ <-这是一个$1*2$的结束矩阵

也就是$F[n-1],p*F[n-2]+q*F[n-1]$

 

矩阵运算法则：$C_{i,j}=\sum A_{i,k}*B_{k,j}$

那么转移矩阵显而易见：

$0,q$

$1,p$

<-这是一个$2*2$的转移矩阵

 

然后矩阵快速幂就好啦。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

#define LL long long
#define N 10
using namespace std;

class Martix{
public:
    LL n,m;
    LL A[N][N];
    Martix(){
        memset(A,0,sizeof(A));
    }
};
LL mod;

Martix operator * (Martix A,Martix B){
    Martix C;
    int n=A.n,m=B.m,p=A.m;
    C.n=n,C.m=m;
    for(LL i=1;i<=n;i++)    
        for(LL j=1;j<=m;j++)
            for(LL k=1;k<=p;k++)
                C.A[i][j]=(A.A[i][k]*B.A[k][j]%mod+C.A[i][j]%mod)%mod;
    /*for(int i=1;i<=C.n;i++)    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
            printf("%d ",C.A[i][j]);
        puts("");
    }*/
    return C;
}

LL p,q,a1,a2,n;

Martix A,B;
inline LL pow(){
    for(;n;n>>=1,A=A*A)
        if(n&1) B=B*A;
    return B.A[1][2];
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&a1,&a2,&n,&mod);
    n-=2;
    A.n=A.m=2;
    A.A[1][1]=0,A.A[1][2]=q,A.A[2][1]=1,A.A[2][2]=p;
    B.n=1,B.m=2;
    B.A[1][1]=a1,B.A[1][2]=a2;
    
    printf("%lld\n",pow());
    return 0;
}