洛谷——P1516 青蛙的约会
P1516 青蛙的约会
题目描述
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
输入格式:
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L
通过题目可以很容易的看出一个方程
x+km≡y+kn(modL)
相当于x−y+k(m−n)≡0(modL)
也就是说x−y+k(m−n)=pL
移项得k(m−n)−pL=y−x
相当于k(n−m)+pL=x−y
观察一下,这个式子是不是和ax+by=gcd(a,b)相类似
对,其实这就是扩展gcd,对于任何这样的式子来求解x,y的值,
对于式子解的有无,条件是ax+by=W中W可以整除gcd(a,b)
对于这个式子解的通项为
有点儿=_=,既然这样,那么最小解是什么?,转大佬博客%%%Flashhu%%%
前置条件:求解ax+by=c的一个解,c不一定等于gcd(a,b)
设g=gcd(a,b),我们利用exgcd可以求出ax0+by0=g其中一个解x0
因为ax+byg是整数,所以cg也必须是一个整数,否则无解。
然后这个式子两边同乘cg,得acx0g+bcy0g=c
那么,x=cx0g就是ax+by=c中x的一个解
由一解推多解,有一恒等式a(x+db)+b(y−da)=c
在保证db,da都是整数的情况下,我们让d最小,就可以得到所有的整数解,那么d=1g
那么最小非负整数解极为x+bg%bg
由于gcd只对非负整数有意义,如果a<0,等式两边要同时取反,b本来就是正数,不能变也不用变
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; inline LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(!b){ x=1;y=0; return a; } LL an=exgcd(b,a%b,x,y); LL tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y; return an; } LL n,m,x,y,L; int main() { scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L); LL xx,yy; LL gc,A=(n-m),g=(x-y); if(A<0) A=-A,g=-g; gc=exgcd(A,L,xx,yy); if(g%gc!=0) printf("Impossible"); else { printf("%lld",(xx*(g/gc)%(L/gc)+L/gc)%(L/gc)); } return 0; }
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