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洛谷——P1516 青蛙的约会

 


P1516 青蛙的约会

 

题目描述

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

 

输入格式:

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L

 

 

通过题目可以很容易的看出一个方程

x+kmy+kn(modL)

相当于xy+k(mn)0(modL)

也就是说xy+k(mn)=pL

移项得k(mn)pL=yx

相当于k(nm)+pL=xy

 

观察一下,这个式子是不是和ax+by=gcd(a,b)相类似

对,其实这就是扩展gcd,对于任何这样的式子来求解x,y的值,

对于式子解的有无,条件是ax+by=WW可以整除gcd(a,b)

对于这个式子解的通项为

 

有点儿=_=,既然这样,那么最小解是什么?,转大佬博客%%%Flashhu%%%

 

前置条件:求解ax+by=c的一个解,c不一定等于gcd(a,b)

g=gcd(a,b),我们利用exgcd可以求出ax0+by0=g其中一个解x0

因为ax+byg是整数,所以cg也必须是一个整数,否则无解。

然后这个式子两边同乘cg,得acx0g+bcy0g=c

那么,x=cx0g就是ax+by=cx的一个解

 

由一解推多解,有一恒等式a(x+db)+b(yda)=c

在保证db,da都是整数的情况下,我们让d最小,就可以得到所有的整数解,那么d=1g

那么最小非负整数解极为x+bg%bg

 

 

由于gcd只对非负整数有意义,如果a<0,等式两边要同时取反,b本来就是正数,不能变也不用变

 

复制代码
#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long 
using namespace std;

inline LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    LL an=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
    return an;
}

LL n,m,x,y,L;

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
    LL xx,yy;
    LL gc,A=(n-m),g=(x-y);
    if(A<0) A=-A,g=-g;
    gc=exgcd(A,L,xx,yy);
    if(g%gc!=0) printf("Impossible");
    else {
        printf("%lld",(xx*(g/gc)%(L/gc)+L/gc)%(L/gc));
    }
    return 0;
}
复制代码

 

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