POJ——3169Layout（差分约束）
POJ——3169Layout
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Description
Some cows like each other and want to be within a certain distance of each other in line. Some really dislike each other and want to be separated by at least a certain distance. A list of ML (1 <= ML <= 10,000) constraints describes which cows like each other and the maximum distance by which they may be separated; a subsequent list of MD constraints (1 <= MD <= 10,000) tells which cows dislike each other and the minimum distance by which they must be separated.
Your job is to compute, if possible, the maximum possible distance between cow 1 and cow N that satisfies the distance constraints.
Input
Lines 2..ML+1: Each line contains three space-separated positive integers: A, B, and D, with 1 <= A < B <= N. Cows A and B must be at most D (1 <= D <= 1,000,000) apart.
Lines ML+2..ML+MD+1: Each line contains three space-separated positive integers: A, B, and D, with 1 <= A < B <= N. Cows A and B must be at least D (1 <= D <= 1,000,000) apart.
Output
Sample Input
4 2 1 1 3 10 2 4 20 2 3 3
Sample Output
27
Hint
There are 4 cows. Cows #1 and #3 must be no more than 10 units apart, cows #2 and #4 must be no more than 20 units apart, and cows #2 and #3 dislike each other and must be no fewer than 3 units apart.
The best layout, in terms of coordinates on a number line, is to put cow #1 at 0, cow #2 at 7, cow #3 at 10, and cow #4 at 27.
Source
题目大意：
n头牛编号为1到n，按照编号的顺序排成一列，每两头牛的之间的距离 >= 0。这些牛的距离存在着一些约束关系：
1.有ml组（u, v, w）的约束关系，表示牛[u]和牛[v]之间的距离必须 <= w。
2.有md组（u, v, w）的约束关系，表示牛[u]和牛[v]之间的距离必须 >= w。
问如果这n头无法排成队伍，则输出-1，如果牛[1]和牛[n]的距离可以无限远，则输出-2，否则则输出牛[1]和牛[n]之间的最大距离。
差分约束入门题
首先记$d[i]$为第$i$头奶牛到第1头奶牛的距离，由于奶牛们按顺序排列，$d[i]<=d[i+1]+0$
第一种约束：$d[u]-d[v]<=w$,可作如下转化$d[u]<=d[v]+w$
观察发现这个式子很像求解最短路时spfa的松弛操作，的确与他有关，建立的模型便是$差分约束系统$。
第二种约束：$d[u]-d[v]>=w$,可转化为$d[v]<=d[u]-w$
根据红色标记的三种约束（如上）建图：
1.由i+1向i建立一条权值为0的边
记u=max(u,v),v=min(u,v),因为奶牛们是按顺序排列的，根据$d[i]$的意义，$d[u]>=d[v]$
2.由$u->v$连一条权值为w的边
3.由$u->v$连一条权值为-w的边
定理1：问题是否有解等价于图G是否没有负权回路。
证明：若G中无负权回路，我们可以求出v1其他顶点u的最短路长，设为d(u)。由于是最短路，因此对于任意边eE，e=uv，有d(u)+w(e)>=d(v)，从而所有的约束条件都被满足，问题一定有解。若G中有负权回路，说明在任何时刻，G中至少有一个点v的最短路长可以更新，因此必须存在一条边e=uv，使得d(u)+w(e)<d(v)。所以无论何时，都会有某个约束条件不被满足，问题无解。（证毕）
定理2：若运行Bellman-Ford后，标号为N的顶点的最短路估计值仍为充分大，那么N和1的距离可以任意大。
证明：从刚才的操作可以看出，到了这一步，已经把含有负权回路的情况排除掉了。在图G中，该充分大的值比可能得到的最大距离大，因此，它和任意大的值对于G的效果都是一样的（同样大于合法的最大距离）。由于充分大的值在G中满足约束，所以任意大的值亦满足约束，从而距离可以任意大。（证毕）
定理3：若运行Bellman-Ford后，标号为N的顶点的最短路估计值比充分大小，那么它是N和1可能的最大距离。
证明：设D[i]是顶点i和1的最短路径估计值，d[i]是顶点i和1可能的最大距离。
我们首先证明，d[n]<=D[n]，运用反证法。
假如d[n]>D[n]，那么在Bellman-Ford运行之前，将赋予每个顶点i的充分大的值换成对应的d[i]。由于d本身满足所有约束条件，所以运行后，得出D'=d。由于充分大的值比所有d[i]都大，而求最短路运用的是逐步松弛操作，我们设立一个更大的初值不可能导致我们的终值反而更小。所以对于任意i，必定有D[i]>=D'[i]，即有D[n]>=d[n]，这与我们的假设矛盾。
然后我们证明，d[n]>=D[n]。
根据d[i]的定义，它是i和1的可能最大距离。由于D[i]是满足题目的所有约束的，所以D[i]是顶点i和1可能的距离。如果D[i]>d[i]，那么与d[i]的定义矛盾。
综合上述，有D[i]=d[i]。从而D[n]是n和1可能的最大距离。（证毕）
#pragma GCC optimize(2) #include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define inf 0x7fffffff #define N 100010 using namespace std; int n,ml,md,head[N],tot; struct node{ int to,next,w; }e[N]; void add(int u,int v,int w){ e[++tot].to=v,e[tot].next=head[u],head[u]=tot,e[tot].w=w; } int d[N],in[N]; bool vis[N]; queue<int>Q; int spfa(){ memset(vis,0,sizeof(vis)); fill(d+1,d+1+n,inf); d[1]=0;Q.push(1);vis[1]=1; while(!Q.empty()){ int u=Q.front();Q.pop();vis[u]=0; for(int i=head[u];i;i=e[i].next){ int v=e[i].to; if(d[v]>d[u]+e[i].w){ d[v]=d[u]+e[i].w; if(!vis[v]){ vis[v]=1; in[v]++; if(in[v]>n) return -1; Q.push(v); } } } } if(d[n]==inf) return-2; else return d[n]; } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&ml,&md); for(int u,v,w,i=1;i<=ml;i++){ scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); if(v>u) swap(v,u); add(v,u,w); } for(int u,v,w,i=1;i<=md;i++){ scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); if(u<v) swap(u,v); add(u,v,-w); } for(int i=1;i<n;i++) add(i+1,i,0); printf("%d",spfa()); return 0; }
