灰色预测模型及MATLAB实例
下面将主要从三方面进行大致讲解，灰色预测概念及原理、灰色预测的分类及求解步骤、灰色预测的实例讲解。
一、灰色预测概念及原理：
1.概述：
关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。
2.原理：
灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。
二、灰色预测的分类及求解步骤：
1.GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：
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预测模型 |
适用场景 |
涉及的序列 |
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GM（1,1）模型 |
一阶微分方程，只含有1个变量的灰色模型。适用于有较强指数规律的序列。 |
累加序列 均值序列 |
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GM（2,1）模型 |
适用于预测预测具有饱和的S形序列或者单调的摆动发展序列缺陷。 |
累加序列 累减序列 均值序列 |
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DGM模型 |
累加序列 累减序列
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Verhulst模型 |
累加序列 均值序列 |
2.求解步骤思维导图：
其中预测过程可能会涉及以下三种序列、白化微分方程、以及一系列检验，由于大致都相同，仅仅是某些使用累加和累减，而另外一些则使用累加、累减和均值三个序列的差别而已。于是下面笔者将对其进行归纳总结再进行绘制思维导图，帮助读者理解。
（1）原始序列（参考数据列）：
（2）1次累加序列（1-AGO）：
（3）1次累减序列（1-IAGO）：
（也就是原始序列中，后一项依次减去前一项的值，例如，[x(2)-x(1),x(3-x(2),...,x(n)-x(n-1))]。）
（4）均值生成序列：
（这是对累加序列"（前一项+后一项）/2"得出的结果。）
求解步骤：
三、灰色预测的实例讲解：
1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”
见下图：
1 x0 = [71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72 71.6]'; %这里是列向量，相当于原始数据中因变量 2 n = length(x0); 3 lamda = x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比 4 range = minmax(lamda') %计算级比的范围 5 x1 = cumsum(x0) 6 B = [-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)]; %这是构造的数据矩阵B 7 Y = x0(2:n); %数据向量Y 8 u = B\Y %拟合参数u(1)=a,u(2)=b 9 syms x(t) 10 x = dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1)); %建立模型求解 11 xt = vpa(x,6) %以小数格式显示微分方程的解 12 prediction1 = subs(x,t,[0:n-1]); %求已知数据的预测值 13 prediction1 = double(prediction1); %符号数转换成数值类型，以便做差分运算 14 prediction = [x0(1),diff(prediction1)] %差分运算，还原数据 15 epsilon = x0'-prediction %计算残差 16 delta = abs(epsilon./x0') %计算相对残差 17 rho = 1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda'%计算级比偏差值，u(1)=a
2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：
题目：已知
=（41,90,61,78,96,104），试建立GM（2,1）模型。
1 %% -------------2.GM(2,1)预测模型-------------------%% 2 x0 = [41 49 61 78 96 104]; 3 n = length(x0); 4 add_x0 = cumsum(x0);%1次累加序列 5 minus_x0 = diff(x0)'; %1次累减序列 6 z = 0.5*(add_x0(2:end)+add_x0(1:end-1))';%计算均值生成序列 7 B = [-x0(2:end)',-z,ones(n-1,1)]; 8 u = B\minus_x0 %最小二乘法拟合参数 9 syms x(t) 10 x = dsolve(diff(x,2)+u(1)*diff(x)+u(2)*x == u(3),x(0) == add_x0(1),x(5) == add_x0(6)); %求符号解 11 xt = vpa(x,6) %显示小数形式的符号解 12 prediction = subs(x,t,0:n-1); 13 prediction = double(prediction); 14 x0_prediction = [prediction(1),diff(prediction)];%求已知数据点的预测值 15 x0_prediction = round(x0_prediction) %四舍五入取整数 16 epsilon = x0-x0_prediction %求残差 17 delta = abs(epsilon./x0) %求相对误差
3.使用DGM的
略
4.使用Verhulst模型的
略
