Lecture11_几何2（曲线和曲面）_GAMES101 课堂笔记
今日学习内容（“显式表达法”更新在Lecture10_几何1（介绍）_GAMES101 课堂笔记中）：
第一部分：曲线（Curves）
曲线在建筑设计、动画中三维建模场景中被广泛应用，以及字体中也被广泛应用，因此无论字体多么大，均不会出现锯齿现象。
一、贝塞尔曲线（Bézier Curves）
通过一条多项式曲线，近似表示其控制点。其中，d次曲线，需要 \(d+1\) 个样本点。
（ 一 ）de Casteljau算法
de Casteljau算法是比较简单且通用的方法来计算和细分曲线的方法。他通过一系列线性插值计算沿任意次数的贝塞尔曲线的位置。
- de Casteljau原理：
给出任何一个 t ( t 规范到0~1范围内),即可找出 t 时的点的位置。
上图过程解释：
（1）在 \(b_0\) 与 \(b_1\) 中找到 \(b_0^1\)（从起始点 \(b_0\)开始 t 位置处为\(b_0^1\)），另外 \(b_1\) 与 \(b_2\) 中找到 \(b_1^1\) （从终止点 \(b_2\)开始 （1-t） 位置处为\(b_1^1\)）
（2）在 \(b_0^1\) 与 \(b_1^1\) 中找到 \(b_0^2\)（从起始点 \(b_0^1\)开始 t 位置处为\(b_0^2\)）;直到只剩一个点 \(b_0^2\)，因此过程结束。
（3）在 t 从0~1变化过程中，通过上诉递归过程即可画出贝塞尔曲线。
- de Casteljau 过程：
de Casteljau算法首先用直线连接所有相邻的点，然后再直线上找到满足比例 \(u\) 的点，得到 \(n-1\) 个点的集合。接着连接这些点，再次按照上述过程对直线进行线性插值，得到 \(n-2\) 个点的集合。重复这个过程，直到只有一个点。如下图所示：
最后拟合曲线结果
递归过程：
- 贝塞尔曲线通用代式：
-
举例：
-
伯恩斯坦多项式（Bernstein Polynomials）
（ 二 ）贝塞尔曲线性质
其中，强调内容：
-
仿射变换性质：
原始曲线的贝塞尔曲线进行仿射 = 原始曲线的仿射变换曲线的贝塞尔曲线
-
凸包性质：
凸包是指能够包围一系列曲线形体的最小凸多边形。(就好比一个橡皮筋刚好包围多边形)。
该性质是画出的贝尔塞曲线一定在凸包内。
（ 三 ）分段贝塞尔曲线（Piecewise Bézier Curves）
下图所示的就是分段贝塞尔曲线，由红色的点依次组成的线段拼接而成。
若要使得分段贝塞尔曲线的拼接处光滑（切线光滑），那么要求一阶导数连续（大小、方向均相同），通俗理解是同一个黑色切点的另外两个蓝色点共线、等距。
- \(C^0连续\)：\(a_n = b_0\), 前一段终止点 = 后一段起始点。
- \(C^1\)连续：\(a_n = b_0 = \frac{1}{2}\left(a_{n-1} + b_1 \right)\),1:1等距相等。
二、样条曲线
所谓样条曲线(Spline Curves)是指给定一组控制点而得到一条曲线，曲线的大致形状由这些点予以控制，一般可分为插值样条和逼近样条两种，插值样条通常用于数字化绘图或动画的设计，逼近样条一般用来构造物体的表面。
B 样条曲线（B-splines）是一种比较常用的样条曲线。连续性的 d 次多项式曲线对 n 个控制点集合进行拟合。
贝塞尔基函数用作权重。B-样条基函数也一样；但更复杂。但是它有两条贝塞尔基函数所没有的特性，即：
(1)定义域被节点细分（subdivided）；
(2) 基函数不是在整个区间非零。
实际上，每个B样条基函数在附近一个子区间非零，因此，B-样条基函数相当“局部”。
第二部分：曲面（Surface）
通俗理解：通过对控制点构建贝塞尔曲线，再对贝塞尔曲线上的点求贝塞尔曲线，横竖求解后，即可得到一个平面。
过程可视化：
