Lecture10_几何1（介绍）_GAMES101 课堂笔记
课程回顾
这是课程7、8、9的上课内容：
本节课内容：
- 几何基础
- 几何实例
- 几何的表示法
几何应用举例
通过几个例子开启本节课的总结，下面主要列举4个例子：
- 下图中是一些不同几何形状的杯子，会涉及如何设计出这些形状；
- 下图中的汽车引擎盖是非常光滑的曲面，会涉及如何用计算机模拟出如此光滑的面；
- 下图中形状各异的齿轮，对于这些复杂的几何构造如何表示；
- 下图中是一个蓝衣女子，会涉及如何表示薄纱不同厚度摊开与重叠时，不同的透明度表示问题；
下面将介绍几何表示方法：
主要分为implicit（隐式） 和Explicit(显式)两大类方法，以下是方法概览：
一、Implicit（隐式）表示法
通过告诉点关系，对点进行归类，从而判断几何关系（是否在几何表面等关系）。
- 优点：很容易判断几何关系（带入隐式即可算出。）
- 缺点：但是很难从隐式关系式看出几何形状。
下面将介绍 5 种隐式表示方法：
隐式表示方法概览：
（ 一 ）代数曲面法（Algebraic Surfaces）
这种方法，主要是很难从数学式子看出形状，并且很难表示复杂的形状。
（ 二 ）构造实体几何法（Constructive Solid Geometry ）
这种方法通过使用简单额几何体进行Bool运算，就可构造出复杂的形状。
（ 三 ）距离函数法（Distance Functions）
通过定义一个距离函数，表示两个物体的距离关系。（不直接描述表面，而是描述一个点到表面的最近距离。），由此通过最小距离判断出在几何体的表面上、外、内关系（加入对应数值0、+、-）。
举例：
想通过A、B得到移动融合运动边界（假设划线为黑色，空白为白色），但是直接做出的结果\(blend(A,B)\)得出的颜色将会是黑、灰、白（AB重合区域、B-A区域、空白区域）。这并不是我们想要得到的黑白融合结果。
于是，使用有向距离函数（Signed-distance Function，简称SDF），通过\(-,0,+\)表示关系，再将\(SDF(A)\)与\(SDF(B)\)做融合，最后将其还原，即可得到\(blend(SDF(A),SDF(B))\)中0为分割线，左边伟黑色，右边为白色的理想结果。
融合距离函数有很多应用，比如下图，这种方法的表示能力极强，可清楚看见瓢虫、蘑菇草相互融合的画面。
（ 四 ）水平集法（Level Set Methods）
这种方法与距离函数方法类似，找临界面等于0处（类似等高线），在二维、三维空间中均可使用，找出\(f(x)\)值相等的所有点即可找出一个平面。
应用举例:模拟水圈形成
（ 五 ）分型法（Fractals）
“分型”是指一个大物体由一些形状相同的小物体组成，小物体又由一些形状相同的更小物体组成，即“自相似”（类似递归思想）。
二、Explicit(显式)表示法
显式表示法主要有两种：
- 将表面上的点表示出来（例如之前的用像素点表示三角形的面）
- 用
参数映射方法（上图中，本文主要介绍这种方法）。
其中参数映射方法从式子\(f : \Bbb{R^2} \rightarrow \Bbb{R^3} ; \left(u,v\right) \mapsto \left(x,y,z\right)\),即可将一个二维平面\(\left(u,v\right)\)映射到三维平面\(\left(x,y,z\right)\)中。
它的优缺点和隐式表示法大体可看做相反
- 优点：很容易看出几何形状，通过映射关系即可知道。
- 缺点：但是很难从显式关系式判断几何关系
( 一 )点云表示法（Point Cloud）
不考虑物体是一个表面，用点表示物体。
（ 二 ）多边形网格（Polygon Mesh）
（ 三 ）波前对象文件（The Wavefront Object File）
一个文本文件将构件分块组织，再构成一个模型。其中对于第二张图中的下半部分输出 f 中 5/1/1 中的 '5'指顶点序号，第一个‘1’ 指纹理坐标，第二个‘1’ 指法线。
三、小结
关于显式和隐式表示法，他们各有不同的优缺点，可根据实际应用场景选择不同的表示方法。
