【小记】二八十十六，进制团团转

这篇笔记咱主要写一下二进制、八进制、十进制、十六进制之间的互相转换。

Contents

• 十进制与其他进制的互相转换
  • 十进制 → 其他进制
    • 整数部分
      • <方法> 除以基数倒取余
    • 小数部分
      • <方法> 乘以基数顺取整
  • 其他进制 → 十进制
    • <方法> 乘以位权后求和
• 二进制与其他进制的互相转换
  • 二进制 → 其他进制
    • <方法> 几位一读，不足补零
  • 其他进制 → 二进制
    • <方法> 展开一位为多位
• 十六进制与八进制的互相转换
  • <方法> 间接转换
  • 【例】八进制 → 十六进制
  • 【例】十六进制 → 八进制

前言

通过观察，我觉得二、八、十、十六进制数的互相转换可以总结为三大块：

1. 十进制与其他进制互相转换
2. 二进制与其他进制互相转换
3. 十六进制与八进制的互相转换

话不多说，下面就按这三大块来归纳一下。

十进制与其他进制的互相转换

十进制到其他进制

整数部分

💡 方法：除以基数倒取余

比如16进制，除以的基数就是16

1. “除以基数”指的是将十进制数不断除以目标进制对应的基数，直到商为0为止。

2. “倒取余”指的是将每次相除得到的余数倒序排列，即转换为了目标进制的数。

   ---

• [例] 10进制转换为8进制

  

  图中的红色箭头展示了“倒取余”的过程

  图中将十进制数1145转换为了八进制数2171

• [例] 10进制转换为16进制

  

  图中的红色箭头展示了“倒取余”的过程

  图中将十进制数14191转换为了十六进制数376F

小数部分

⚠ 不是所有的小数都能转换为其他进制。比如现代计算机采用二进制计数，有很多小数都没法准确地转换为二进制（只能取近似值），这也是为什么说现在计算机无法完全准确地表示小数。

💡 方法：乘以基数顺取整

比如2进制，对应的基数就是2

1. “乘以基数”指的是不断将小数部分乘以目标进制对应的基数，直到小数部分为0为止。

2. “顺取整”指的是将每次相乘得到的数的整数部分顺序排列，即转换为了目标进制的数。

   ---

• [例] 2进制转换为10进制

  

  图中的红色箭头展示了“顺取整”的过程

  图中将十进制数0.375转换为了二进制数0.011

其他进制到十进制

💡 方法：每一位数字乘上基数^对应指数(位权)，然后相加求和

本图中的数值12C.1415926，是十六进制数。

上图中，基数是16，“对应指数”就是橙色标出的数。以小数点为分界，小数点左侧第一位的对应指数为0，而小数点右侧第一位的对应指数为-1。

从低位向高位（图中从右向左），这个指数不断增大。

十六进制的基数是16，那么八进制的基数就是8，以此类推。

• [例] 16进制转换为10进制

  

  图中将十六进制数12C.14转换为了十进制数300.078125

二进制与其他进制的互相转换

二进制和其他进制的互相转换就要方便多了。

二进制到其他进制

💡 方法：以小数点为界，向左右两侧，每几位读为一个数，不足的就补零。

• 关于这里的“每几位”，需要看要转换为哪个进制的数。比如转换为十六进制，其一位能表示0-F这16种状态，需要用4个二进制位来表示，那么就是每4位一读。

  再比如八进制一位能表示0-7这8种状态，需要用3个二进制位来表示，那么就是每3位一读。

• 关于补零，无论是从小数点左侧第一位开始往左每几位一读，还是从小数点右侧第一位开始往右每几位一读，都难免遇到“位数不够读”的情况，这个时候就需要补零。

  ---

• [例] 二进制转换为十六进制

  

  图中将二进制数1001001.011转换为了十六进制数49.6

  • 红色箭头展示了以小数点为分界，分别往左右进行读取。左侧从低位向高位，而右侧从高位向低位。
  • 图中括号展示了补零的过程。100和011都不足4位，按照读取方向，分别在其左方和右方补零。
  • 最后，每4位一读，用十六进制表示出来，就得到了最后的结果。

• [例] 二进制转换为八进制

  

  图中将二进制数1001101.1011转换为了八进制数115.54

  • 具体做法和上面一个例子一致，这里不多赘述。

其他进制到二进制

💡 方法：每位读为几位二进制数。

• 关于这里的“每位读为几位二进制数”，需要看转换前是哪个进制的数。比如原本是十六进制，其一位能表示0-15这16种状态，需要用4个二进制位来表示，那么就是每位读为4位二进制数。

• 附一个对照表：

  八进制位	←对应的二进制	十六进制位	←对应的二进制
  0	000	0	0000
  1	001	1	0001
  2	010	2	0010
  3	011	3	0011
  4	100	4	0100
  5	101	5	0101
  6	110	6	0110
  7	111	7	0111
  -	-	8	1000
  -	-	9	1001
  -	-	A	1010
  -	-	B	1011
  -	-	C	1100
  -	-	D	1101
  -	-	E	1110
  -	-	F	1111

  实际应用中，可以根据8421码来进行计算，不用死记硬背。

  比如三位二进制101, 对应421，转换为十进制就是4+1=5。
  再比如四位二进制1010, 对应8421，转换为十进制就是8+2=10。

  ---

• [例] 八进制转换为二进制

  

  图中将八进制数67.23转换为了二进制数110111.010011

  • 每一位八进制位读成3位二进制数（一位八进制位能表达8种状态，需要3位二进制位来表示）

  ---

  不想用8421码其实也没问题，八进制和十六进制的每一位数其实可以看作是十进制整数，使用除2倒取余的方法能将其逐位展开为二进制数。
  (本质上还是按位读取，每位读为几位二进制数)

  

  比如上图中，原八进制数中的6与3分别可以用除2倒取余的方法展开为110与011，和8421码得出的结果一致。

十六进制与八进制的互相转换

十六进制和八进制之间无法直接转换：

• 如果要把十六进制数转换为八进制数，就需要先将十六进制转换为十进制或二进制，进而再转换为八进制。
• 把八进制转为十六进制也需要用十进制或二进制“过渡一下”

---

八进制转十六进制的例子

• 通过二进制进行间接转换

  

  上图中我将八进制数12.450先转换为了二进制数001010.100101000，再转换为了十六进制数A.94。

  二进制和其他进制互相转换的方法在上面已经介绍过了，这里就不多赘述。

• 通过十进制进行间接转换

  

  上图中我将八进制数12.450先转换为了十进制数10.578125，再转换为了十六进制数A.94。

  • 这里再提一嘴：十进制转为其他进制时，需将整数和小数分而治之。

  十进制和其他进制互相转换的方法在上面也已经介绍过了，这里就不多赘述。

十六进制转八进制的例子

• 通过二进制进行间接转换

  

  上图中我将十六进制数C.98先转换为了二进制数1100.10011000, 再转换为了八进制数14.46。

  可以看到，十六进制转八进制和八进制转十六进制的过程是十分类似的。

• 通过十进制进行间接转换

  

  上图中我将十六进制数C.98先转换为了十进制数12.59375, 再转换为了八进制数14.46。

冷笑话

这位老伙计为什么要在万圣节前夜穿上圣诞节的服装呢？

答：因为 Oct 31 = Dec 25。

October(十月) 31 是万圣节前夜，December(十二月) 25 是圣诞节。
但是在这也可以理解成Octal(八进制) 31 = Decimal(十进制) 25 (*^_^*)