最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现（转）

概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

 

原理

[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]

 

 

     给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 

常见的曲线拟合方法:

     1.使偏差绝对值之和最小

     

 

     2.使偏差绝对值最大的最小

     

 

     3.使偏差平方和最小

 

     

 

     按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

     1. 设拟合多项式为：

          

     2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

          

     3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了： 

          

          

                         .......

          

 

     4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

          

          

                     .......

          

 

     5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

          

     6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

          

     7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

实现

 

运行前提:

  1. Python运行环境与编辑环境；
  2. Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。

代码:

[python] view plain copy
 
  1. # coding=utf-8  
  2.   
  3. ''''' 
  4. 作者:Jairus Chan 
  5. 程序:多项式曲线拟合算法 
  6. '''  
  7. import matplotlib.pyplot as plt  
  8. import math  
  9. import numpy  
  10. import random  
  11.   
  12. fig = plt.figure()  
  13. ax = fig.add_subplot(111)  
  14.   
  15. #阶数为9阶  
  16. order=9  
  17.   
  18. #生成曲线上的各个点  
  19. x = numpy.arange(-1,1,0.02)  
  20. y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]  
  21. #ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')  
  22. #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"  
  23.   
  24. #生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去  
  25. i=0  
  26. xa=[]  
  27. ya=[]  
  28. for xx in x:  
  29.     yy=y[i]  
  30.     d=float(random.randint(60,140))/100  
  31.     #ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')  
  32.     i+=1  
  33.     xa.append(xx*d)  
  34.     ya.append(yy*d)  
  35.   
  36. '''''for i in range(0,5): 
  37.     xx=float(random.randint(-100,100))/100 
  38.     yy=float(random.randint(-60,60))/100 
  39.     xa.append(xx) 
  40.     ya.append(yy)'''  
  41.   
  42. ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')  
  43.   
  44.   
  45. #进行曲线拟合  
  46. matA=[]  
  47. for i in range(0,order+1):  
  48.     matA1=[]  
  49.     for j in range(0,order+1):  
  50.         tx=0.0  
  51.         for k in range(0,len(xa)):  
  52.             dx=1.0  
  53.             for l in range(0,j+i):  
  54.                 dx=dx*xa[k]  
  55.             tx+=dx  
  56.         matA1.append(tx)  
  57.     matA.append(matA1)  
  58.   
  59. #print(len(xa))  
  60. #print(matA[0][0])  
  61. matA=numpy.array(matA)  
  62.   
  63. matB=[]  
  64. for i in range(0,order+1):  
  65.     ty=0.0  
  66.     for k in range(0,len(xa)):  
  67.         dy=1.0  
  68.         for l in range(0,i):  
  69.             dy=dy*xa[k]  
  70.         ty+=ya[k]*dy  
  71.     matB.append(ty)  
  72.    
  73. matB=numpy.array(matB)  
  74.   
  75. matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)  
  76.   
  77. #画出拟合后的曲线  
  78. #print(matAA)  
  79. xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)  
  80. yya=[]  
  81. for i in range(0,len(xxa)):  
  82.     yy=0.0  
  83.     for j in range(0,order+1):  
  84.         dy=1.0  
  85.         for k in range(0,j):  
  86.             dy*=xxa[i]  
  87.         dy*=matAA[j]  
  88.         yy+=dy  
  89.     yya.append(yy)  
  90. ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')  
  91.   
  92. ax.legend()  
  93. plt.show()  

运行效果: 

 

 

 

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posted @ 2016-02-28 17:14  沧海一滴  阅读(23370)  评论(1)  编辑  收藏  举报