整除

整除

如果非0整数a和整数b满足

b = ka

其中k也是整数，则说a整除b，记做 a|b，也称a是b的一个因子或约数，b是a的倍数。

关于因子的简单结论有：

• 1是所有整数的因子
• 所有整数(0除外)都是0的因子
• 如果a | b,b|c ，则a |c ，也就是整除性是传递的。
• 如果a | b且 b|a ，则a = ±b
• 如果a | b,a |c,m,n是整数，则a | mb+nc

公约数和最大公约数

如果整数d满足d|a且d|b，则说d是整数a、b的公约数。在整数a、b的所有正公约数中，值最大的被称为最大（正）公约数，记 做gcd(a,b)，其中gcd是Greatest Common Divisor的缩写。最大公约数有时又被称为最大公因子。

定理：如果d是整 数a,b的公约数，则d是ma + nb的约数(其中m,n是整数)，且满足ma+nb形式的最小的正整数是a,b的最大公约数。

证明：

     
1)
假设d是a,b的一个约数，d|a,d|b，集合S = { ma + nb | m,n ∈ Z}，则对于S中任意一个元素x，有
           x = k1a + k2b
因此根据前面结论，d | x，也就是说d整除S中的每个元素。由此可以得出，S中的最小整数是a,b所有
公约数的倍数。
2)
假设d是集合S中最小的正整数，则d能整除S中任何一个元素。反证：假设存在x∈S，d不能整除x，则x可以表示为
                x = kd + r 
其中r为小于d的正整数，由于x,d都是S的元素，因此都可以表示为ma+nb的形式，由上式可以得出
               r = x - kd
也可以表示为ma + nb的形式，因此r∈S，这于d是S中最小正整数矛盾。因此，d能整除S中任何一个元素。
3) a和b都是S的元素，因为
               a = 1 a + 0 b
               b = 0 a + 1 b
因此2中所述的d必然能整除a,b，因此d是a,b的公约数。而根据1，a,b的所有约数都能整除d，因此d是最大公约数。

质数和互质

正整数p是一个质数的条件是：

• p > 1
• p的正因子有且只有两个，就是p和1

因此，最小的质数是2，而除了2之外，所有的偶数都不是质数。

互质的概念其实和质数没有什么关系，互质的定义为：如果非0整数a,b的最大公约数为1，则说这两个数互质。

除法和余数

对于整数a和b，则b一定可以表示成

 b = ka +r

其中k、r是整数，且0 ≤ r < a，称呼r为b除以a的余数，当r为0时，a | b 。计算b除以a的余数的过程称为模运算。

如果整数a,b除以p的余数相等，称为a,b模p相等，记做

  a ≡ b mod p