2D射影空间，为何引入射影空间

2D欧氏空间R²中,点的表示是A(x1,y1), B(x2,y2),二维参数，线的表示是L: y=kx+b，是二维参数；

如何表示点在线上面？可以扩展为（k,-1,b）* (x1,y1,1)^t = 0 ，如果不扩展，不在一个大统一的计算框架下面，且 两条平行线的交点没法表示，说明欧氏空间符合现实的理解方式，不符合数学计算美学；

 

^{于是大佬们想办法提出了用R3 来表示 2D射影空间：IP2。个人暂时还是无法理解全：}

将A(x1,y1), B(x2,y2)等点扩充到 A(x1,y1,1)^t, B(x2,y2,1)^t , L以ax+by+c=0来表示，即L(a,b,c),如果点P(x1,x2,1)^t,在线L上面 有   P ^t * L = 0，这样 点线就统一了（我们其实知道，这个是点的齐次坐标）

这样表示后，我们发现 kA，kB (k!=0)... 也都在L或者kL上面，是不是变成了矢量的感觉..

索性我们就规定，矢量等价原则

　　　　　　    R²中一点A(x1,y1),当k！=0 时，IP² 中  k(x1,y1,1) 都对应于R²中的A这一点

                         R²中一线L(a,b,c),当k！=0 时，IP² 中  k(a,b,c) 都对应于R²中的L这一条线

 

这样规定后，

　　　　　　点x(x1,y1,z1),线L(a,b,c)的自由度都降为了2，

　　　　　　点x在直线l上的充要条件是x^t * l = 0

　　　　　　两直线 l 与 l' 的 交点是 (l X l'）叉乘，右手法则

　　　　　　两点x与x'之间的连线是，(x X x'）叉乘，右手法则

 

无穷远点 与 无穷远线

　　　　R²中两平行线 交于 无穷远点，在IP²中计算后，表示为 （x,y,0），维度变成了一维，映衬了n个平行直线交于同一点。

　　　　无穷远点在无穷远线上面，以 l_∞(0,0,1) 来表示

 

现在几何都统一到代数计算下面了。