数学建模学习——Day01

一、层次分析法模型

1.指标权重和为1，各方案和为1

2.评价类问题一般会用到层次分析法（确定评价指标，形成评价体系）

3.解决评价类问题：

1）评价目标？

2）为达到目标有几种方案？

3）评价的准则或指标是什么？

4.优先在他人发表过的论文中寻找相关问题指标，更专业。

5.分而治之：两两指标互相比较，根据两两比较的结果推算出权重

6.判断矩阵：

  1）a ij 表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度。

  2）当i = j时，两个指标相同，同等重要记为1，解释了主对角线元素为1

  3）a ij > 0且满足a ij * a ji = 1（满足这一条件被称为正互反矩阵）

7.一致矩阵：a ik = a ij * a jk

各行（各列）之间成倍数关系

8.在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

1）一致矩阵有一个特征值n，其余特征值均为0

2）n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值λ max = n；

 且当正互反矩阵A为非一致时，一定满足λ max > n.

9.一致性检验步骤：

1）计算一致性指标CI：

  CI = （λ max - n） / （n - 1）

2）查找对应的平均随机一致性指标RI

PS：实际中，n很少超过10，若指标个数大于10，可建立二级指标体系

3）计算一致性比例CR：

  CR = CI / RI

若CR < 0.1， 则认为判断矩阵的一致性可接受，否则需要对判断矩阵进行修正

10.一致矩阵计算权重

指标	A	B	C
A	1	2	4
B	1/2	1	2
C	1/4	1/2	1

A权重：1 /（1+0.5+0.25）

B权重：0.5 /（1+0.5+0.25）

C权重：0.25 /（1+0.5+0.25）

11.判断矩阵计算权重

指标	A	B	C
A	1	2	5
B	1/2	1	2
C	1/5	1/2	1

使用第一列计算权重：

A = 1 / (1+0.5+0.2) = 0.5882

B = 0.5 / (1+0.5+0.2) = 0.2941

C = 0.2 / (1+0.5+0.2) = 0.1177

使用第二列计算权重：

A = 2 / (2+1+0.5) = 0.5714

B = 1 / (2+1+0.5) = 0.2857

C = 0.5 / (2+1+0.5) = 0.1429

使用第三列计算权重：

A = 5 / (5+2+1) = 0.625

B = 2 / (5+2+1) = 0.25

C = 1 / (5+2+1) = 0.125

再求平均权重：

A = 0.5882+0.5714+0.625 = 0.5949

B = 0.2941+0.2857+0.25 = 0.2766

C = 0.1177+0.1429+0.125 = 0.1285

12.方法1：算术平均法求权重

1）将判断矩阵按照列归一化（每个元素除以其所在列的和）

2）将归一化的各列相加

3）将相加后的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

13.方法2：几何平均法求权重

1）将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

2）将新的向量的每个分量开n次方

3）对该列向量进行归一化即可得到权重向量

14.方法3：特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0

特征值为n时，对应的特征向量为

这一特征向量就是一致矩阵的第一列

1）求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

2）对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

15.层次分析法步骤

1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构（建立层次结构图：目标层，准则层，方案层）

2）构造判断矩阵

3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）

4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序

16.层次分析法局限性

1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大