利用移位、加减法实现整数开平方算法的方法(转)
本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。
我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。
先看下面两个算式，
x = 10*p + q (1)
公式(1)左右平方之后得：
x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)
现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。
我们把公式(2)改写为如下格式：
q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)
这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。
我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方
首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值
3
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/ 12 34 56 78 90
9
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/ 3 34
下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边：
3 q
---------------
/ 12 34 56 78 90
9
---------------
(20*3+q)*q / 3 34
我们看到q为5时(60+q)*q的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到：
3 5
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/ 12 34 56 78 90
9
---------------
65 / 3 34
3 25
---------------
9 56
接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。
这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了：
q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)
我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方：
1 0 1 0
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/ 1 10 01 00
1
-----------
100 / 0 10
0 00
-----------
1001 / 10 01
10 01
-----------
0 00
这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。
下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4*p+1)，通过a>>30取a的最高 2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。
unsigned short sqrt(unsigned long a){
unsigned long rem = 0;
unsigned long root = 0;
unsigned long divisor = 0;
for(int i=0; i<16; ++i){
root <<= 1;
rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
a <<= 2;
divisor = (root<<1) + 1;
if(divisor <= rem){
rem -= divisor;
root++;
}
}
return (unsigned short)(root);
}
Feedback
3 5 q
---------------
/ 12 34 56 78 90
9
---------------
65 / 3 34
3 25
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(20*35+q)*q / 9 56
我们看到q为1时(700+q)*q的值最接近956，而且不超过956。于是我们得到：
3 5 1 q
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/ 12 34 56 78 90
9
---------------
65 / 3 34
3 25
---------------
701 / 9 56
7 01
----------------
(20*351+q)*q / 2 55 78
我们看到q为3时(20*351+q)*q的值最接近25578，而且不超过25578。于是我们得到：
3 5 1 3 q
---------------
/ 12 34 56 78 90
9
---------------
65 / 3 34
3 25
---------------
701 / 9 56
7 01
----------------
7023 / 2 55 78
2 10 69
----------------
(20*3513+q)*q / 45 0990
我们看到q为6时(20*3513+q)*q的值最接近450990，而且不超过450990。于是我们得到：
3 5 1 3 6
---------------
/ 12 34 56 78 90
9
---------------
65 / 3 34
3 25
---------------
701 / 9 56
7 01
----------------
7023 / 2 55 78
2 10 69
----------------
70266 / 45 0990
42 1596
----------------
2 9394
至此1234567890的根为３５１３６．我想能看明白吧！