分层图学习
https://www.cnblogs.com/acioi/p/11716483.html
https://www.cnblogs.com/lijilai-oi/p/11285708.html
https://wenku.baidu.com/view/b15e2fbea1c7aa00b52acb96.html 例题讲解（百度文库）
http://www.doc88.com/p-61770953932.html 集训队论文
模板 洛谷P2939 [USACO09FEB]改造路Revamping Trails
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <queue> using namespace std; #define N 4100005 int n,m,head[N],tot,to[N],nxt[N],w[N],k,ans=0,dis[N]; bool vis[N]; void add(int u,int v,int w1) { nxt[++tot]=head[u];head[u]=tot;to[tot]=v;w[tot]=w1; } priority_queue < pair<int,int> >q; void dij() { memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis)); dis[1]=0;q.push(make_pair(0,1)); while(!q.empty()) { int u=q.top().second;q.pop(); if(vis[u])continue;vis[u]=1; for(int e=head[u];e;e=nxt[e]) { int v=to[e]; if(dis[v]>dis[u]+w[e]) { dis[v]=dis[u]+w[e]; q.push(make_pair(-dis[v],v)); } } } } int main() { int u,v,w1; cin>>n>>m>>k; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&w1); add(u,v,w1);add(v,u,w1); for(int j=1;j<=k;j++) { add(n*j+u,n*j+v,w1);add(n*j+v,n*j+u,w1); add(n*(j-1)+u,n*j+v,0);add(n*(j-1)+v,n*j+u,0); } } dij(); ans=0x3f3f3f3f; for(int i=1;i<=k+1;i++) ans=min(ans,dis[i*n]); cout<<ans<<endl; return 0; }
【分层图】
【分层图是什么】
分层图，顾名思义
就是分很多层的图
也就是类似二维数组
不再是一个单一的平面
而是一个立体化的东西
不只有长宽，也有了自己的厚度
即为层数
【分层图可以用来干什么呢】
有的题目中会说到
让你免费建立k条边
这个时候就可以用到分层图了
建立 多层 相同或相似的 图, 并在图与图之间进行连边
可以实现 两种性质的图 之间的 转移,
或是 图与图 之间 有限制的转移
不过 建多层图时间空间 消耗都巨大,
因此适用的 数据范围 一般较小
多层的图，不同的状态
这里面之间可以转移
这里的状态有点类似动态规划
表示层数和情况状态
假设免费建立k条边
所以就可以有k层图表示已经免费建立了1条边到免费建立了k条边
如果现在你是出于第i个点，你已经建立了j条免费的边
你的下一个点是acioi，不过到acioi需要花费很多
所以就要建立一条免费的边
这个时候就连接到第j+1层的acioi这点了
第j+1层acioi的点这个状态用来j+1条边
比转移之前多用了一条边
也就是i到acioi的这条边
这就是分层图了
【分层图的实现】
在连接每两个点的同时
将复制出来的另外k个图上对应的两个点连接起来
也将i图和j图上的对应的点连接起来
也就是让这条边权值为零的情况
核心代码
for(register int i = 1;i <= m;++ i)
{
int x,y,z;
cin >> x >> y >> z;
add(x,y,z),add(y,x,z);
for(register int j = 1;j <= k;++ j)
{
add(j * n + x,j * n + y,z);//将其他图对应的边连接起来
add(j * n + y,j * n + x,z);
add((j - 1) * n + x,j * n + y,0);//两张图的连接点
add((j - 1) * n + y,j * n + x,0);
}
}【例题】
P2939 [USACO09FEB]改造路Revamping Trails
分层图模板题
题解戳这里
P4822 [BJWC2012]冻结
分层图模板提
题解戳这里
P4568 [JLOI2011]飞行路线
分层图模板提
题解戳这里
综上所述：
分层图开空间需要好好斟酌一下
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浅谈分层图最短路问题
分层图最短路问题，就是把一个图分层然后跑最短路（废话）。
分层图最短路问题关键在于怎么分层，分层通常是起到对题中某个条件的限定作用，这里我们结合例题看看。
题意大致是给一个带权无向图，允许k次飞行费用为0，求最小费用。
这里就是将图分成k层，每次从第i-1层到第i层相当于是走了一条免费的飞行路线。然后如果从第i层回到第i-1层就是一个“后悔”的过程。因此建图方法就是每层之间正常连边，层与层之间上到下边权为0，下到上正常边权。这样直接跑Dijkstra就好了。这里分层就是对k次免费进行限制，而且连反向的边保证程序有反悔的机会。
搬运一个大佬题解里的图。
P4568题意要求我们从一个点买入，一个点卖出，获得的费用最大，并且从1能到达n。
emmmm这个题题解里有很多玄学做法，这里只讨论分层图做法。我们暴力的想一想，每一个点都有可能买入，每一个点都有可能卖出，但是必须先买入再卖出（显然的嘛）。所以这其实就存在一个依赖关系。这样就可以将图分成3层，第一层表示没有买入和卖出，第二层表示已经买入，第三层表示已经卖出。那么每层内部正常连边（边权为0），层与层之间，第一层到第二层要连边权为-a[u]（u为第一层内边的起点，a[u]为费用）表示买入，第二层到第三层连边权为a[u]的边表示卖出。而第二层第三层回不到第一层就是我们限制了贸易次数，只进行一次贸易。这样图就建好了。
仍然搬运大佬题解的图。
P1073总结一下，分层图最短路通常是按照题中的限制关系进行分层，通过层与层间的连通与否，边权进行限制，从而实现在跑最短路时也能兼顾限制条件。同时由于最短路算法是枚举点进行松弛，无法保证一次就得到最优解，因此往往通过一些方法实现“反悔”操作，例题1就是通过回到原来的层实现的，而例题2则是通过spfa不断松弛实现的。
