消圈算法
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Floyd判圈算法(龟兔赛跑算法, Floyd's cycle detection)及其证明
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问题:如何检测一个链表是否有环(循环节),如果有,那么如何确定环的起点以及环的长度。
空间要求:不能存储所经过的的每一个点。
举例:x0=1x0=1,xi+1=f(xi)xi+1=f(xi),求循环节的起始位置以及循环节的长度。
求解步骤:
1.判断是否有环
使用两个指针slow和fast。两个指针开始时均在头节点处(SS点),slow指针(龟)一次向后移动一个一步,fast指针(兔)一次向后移动两步。若存在环,则slow和fast必能相遇;反之若slow到达链表尾时两个指针仍不能相遇,则不存在环。
证明
设头节点SS与循环节起始点AA之间举例|SA|=m|SA|=m。两个指针在BB点相遇,|AB|=n|AB|=n。可知环中的点满足xi=xi+klxi=xi+kl,其中ll为循环节的长度,也就是说fast比slow多走了整数圈。当i=kli=kl时,满足xi=x2ixi=x2i,这样的ii一定存在,得证。
2.计算环的长度
这一步比较简单,让其中一个指针停在BB不动,另一个一步一步向前走并记录步数,再次相遇时步数即为环的长度。
3.寻找环的起点
其中一个指针在BB不动,另一个放到起点SS,两个指针同时一步一步移动,则两指针将会在循环节的起点相遇。
证明
BB点的下标 i=kli=kl为ll的整数倍。当放到SS处的指针移动mm到达AA时,放在BB的指针移动到i+m=kl+mi+m=kl+m处,于是两个指针相遇。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e7;
int f(int x)
{
int res = 0;
//此处填写递推式,使其走到下一步
return res;
}
//ori为起点处的值,len为循环节长度,id为循环节起始处坐标,val为循环节起始处的值
bool FloydCycle(int ori, int &len, int &id, int &val)//有环返回true,无环返回false
{
int slow, fast;//慢指针和快指针
slow = f(ori);//快指针的移动速度是慢指针的2倍
fast = f(f(ori));
int cnt = 1;
while(slow != fast && cnt <= maxn)//maxn为链表尾节点
{
//快指针的移动速度是慢指针的2倍
slow = f(slow);
fast = f(f(fast));
cnt++;
}
if(slow != fast) return false;//无环
len = 1;//环的长度
slow = f(slow);
while(slow != fast)
{
slow = f(slow);
len++;
}
id = 0;
slow = 1;
while(slow != fast)
{
slow = f(slow);
fast = f(fast);
id++;
}
val = slow;
return true;
}
生命是华丽错觉,时间是贼,偷走一切