CF 1823 题解

CF 1823 题解

A A-characteristic

考虑设有 $x$ 个 $1$, $n-x$ 个 $-1$, 那么 $k=\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(n-x)(n-x-1)}{2}$, 公式法解二次方程即可.

B Sort with Step

原题约数意味着只能在下标 $modk$ 的等价类下标内排序, 这意味着一个位置满足 $a_i\not\equiv i\mathrm{mod}k$ 时需要提前交换, 这样的位置不存在则直接合法, 恰好为 $2$ 则需要一次提前交换.

C Strongly Composite

发现如果 $d|x$, 并且 $x,d$ 都合法, 那么选 $x$ 不如选 $d$.

我们注意到, $p_1^2,p_1{p}_2{p}_3$ 这样的都合法, 因此质因数分解 $n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{cn{t}_i}$, 则 $ans=\sum _{i=1}^k\lfloor \frac{cn{t}_i}{2}\rfloor +\lfloor \frac{\sum _{i=1}^k(cn{t}_{i}mod2)}{3.}\rfloor$

D Unique Palindromes

注意到以每一个位置为结尾的新回文串不会超过 $1$ 个, 这样就可以判断是否有解.

首先, $p_1\to 1,p_2\to 2,p_3\to 3$ 是一定的, 枚举可证. 这样的话, 我们前三个字固定构造 abc.

剩下的部分, 我们构造 xxxxabcabcabyyyyyycabcabczzzaqqqbc 这样的东西即可, 其中每一个 x,y,z 都有 $1$ 的贡献, 去掉这些之后整个串拼起来形如 abcabcabcabc...

由于约束不太多, 因此每个约束拥有的 x 足够在 $26$ 个字母内各不相同.

E Removing Graph

打 sg 表, 即得大小为 $i$ 的环 $s{g}_i=\{\begin{array}{ll}\lfloor \frac{i}{l}\rfloor & i<l+r\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$, dfs 搜索计算异或和即可.

F Random Walk

随机游走直接考虑高消, 设 $f_i$ 表示经过 $i$ 期望次数, 那么有:

$$f_u=\{\begin{array}{ll}1+\sum _{(u,v)\in E\wedge v\ne t}\frac{f_v}{d_v}& u=s\\ 1& u=t\\ \sum _{(u,v)\in E\wedge v\ne t}\frac{f_v}{d_v}& \text{otherwise}.\end{array}$$

求解写树上高消模板即可.