CF 1253 题解

CF 1253 题解

A Single Push

考虑令 $d_i=b_i-a_i$, 那么合法当且仅当 $d$ 在一个前缀和一个后缀都是 $0$, 其余地方值一致并且非负.

B Silly Mistake

注意到能作一次划分的时候立即划分一定更优, 因为这样就不会因为潜在的一天两次进入办公室而得不到答案.

贪心的模拟即可.

C Sweets Eating

首先把 $a$ 降序排列, 用手去玩前几个值, 注意找递推关系: (令 $k=2$)

$$\begin{array}{rl}& f_1=a_1\\ & f_2=a_2+a_1\\ & f_3=a_3+a_2+2a_1\\ & f_4=a_4+a_3+2a_2+2a_1\\ & f_5=a_5+a_4+2a_3+2a_2+3a_1\\ & \dots \end{array}$$

观察得 $f_i=su{m}_i+f_{i-k}$, 递推即可.

D Harmonious Graph

考虑一个边 $l\to r$, 那么意味着 $l$ 到 $r$ 这个区间都联通. 维护这样的连通性只需要并查集, 顺便用并查集跳过已经合并的位置, 那么暴力做就是对的.

需要添加的边就是目前的连通块数减掉最终连通块数, 证明考虑每一条边合并两个连通块.

E Antenna Coverage

注意到 $n$ 比较小, 那么考虑一个 $O(nm)$ 的 dp, 设 $f_i$ 表示用第 $i$ 格之前的信标去覆盖前 $i$ 个位置的最小代价, 枚举覆盖第 $i$ 格所用的信标 $j$, 计算刚好覆盖 $i$ 时该信标所覆盖的左端点 $l$, 然后转移 $f_i\leftarrow cst+\underset{l\le j<i}{min}{f}_j$, 后半部分在单调栈上二分即可.

问题是最后面的信标可能在右侧覆盖范围超出了 $m$, 但是注意到它一定不会超过 $2m$, 那么计算到 $2m$ 即可.

F Cheap Robot

这道题是很牛的. 首先考虑求出来每个点离它最近的充电站的距离 $di{s}_i$, 以及该充电站编号 $nea{r}_i$. 暴力做直接炸了, 但是考虑多源 dij 就可以了.

考虑列列式子, 对于一条边 $u\to v:w$, 设经过 $i$ 时电量为 $c_i$, 答案为 $x$, 由于任意充电桩到达它都需要 $di{s}_i$ 代价, 而它到达任意充电桩都需要 $di{s}_i$ 代价, 因此有:

$$di{s}_i\le c_i\le x-di{s}_i$$

我们不妨认为机器人从 $u$ 走到了 $v$, 那么:

$$\begin{gathered} di{s}_u\le c_u\le x-di{s}_u \\ di{s}_v\le c_u-w\le x-di{s}_v \end{gathered}$$

那么不难发现:

$$x-di{s}_v\ge c_u-w\ge di{s}_u-w$$

移项, 得:

$$x\ge di{s}_u+di{s}_v+w$$

我们现在有答案的一个下界, 考虑现在有路径 $P:u\to v$, 而现在令答案是 $\underset{(u,v):w\in P}{max}(di{s}_u+di{s}_v+w)$, 是否存在合法路径呢? 存在的, 设路径表示为 $p_1\to p_2\to p_3\to \dots \to p_{k-1}\to p_k$, 那么我有足够的电量从 $p_1$ 走到 $nea{r}_{p_2}$, 再从 $nea{r}_{p_2}$ 走到 $nea{r}_{p_3}$, 以此类推即可.

因此把每条边重新赋边权, 然后建立最小生成树, 倍增求链上最大值即可.