CF 1257 题解

CF 1257 题解

A Two Rival Students

每次交换都可以让距离增加 $1$, 上界是 $n-1$.

题目说至多而不是恰好交换 $x$ 次, 于是不需要考虑边界.

B Magic Stick

一个重要的观察是: 如果能够得到 $x$, 那么就能得到任意小于等于 $x$ 的数, 这是操作二保证的.

考虑操作 $1$ 有什么用:

首先, 一个观察是, 如果我有 $2^k$, 那么我就能得到 $3^k$, 这个增量是不小的, 而我们还可以再把 $3^k$ 减掉一个数把它变成 $2$ 的指数次幂, 再重复这个过程, 这个过程能否一飞冲天呢?

进行一些尝试:

考虑我现在想找到一个数 $x$, 它能够变成 ${10}^9$ 以内的任何数.

如果它能够变成 $3^{19}=1162261467$, 那它一定合法;

因此如果它能变成 $2^{19}=524288$ 就可以了;

这个数加上一个数约束严格更强, 把它变成 $531441=3^{12}$;

因此有 $2^{12}=4096$ 就够了.

以此类推:

$$\begin{gathered} 2^{12}=4096<6561=3^8 \\ \to 2^8=256<729=3^6 \\ \to 2^6=64<84=3^4 \\ \to 2^4=16<27=3^3 \\ \to 2^3=8<9=3^2 \\ \to 2^2=4<9=3^4 \\ \to 2^4\dots \end{gathered}$$

我们发现, 大于等于 $4$ 的数能变成小于等于 ${10}^9$ 的任意数, 那小于 $4$ 的怎么办呢?

模拟一下就能发现, $3$ 能变成 $1,2,3$, $2$ 能变成 $1,2,3$, $1$ 能变成 $1$.

C Dominated Subarray

发现一个合法序列至少要有两个一样的元素, 找最近的两个相邻元素距离即可.

D Yet Another Monster Killing Problem

发现这个怪物需要顺序的打, 那只能 dp 了.

设 $f_i$ 表示打败前 $i$ 个怪兽需要的最少天数.

设 $ls{t}_i$ 表示第 $i$ 天至多到第 $ls{t}_i$ 可以一次杀完, 发现如果一个集合里的怪兽可以一次杀完, 那么它的子集都可以, 因此这个贪心是对的, 而且有可二分性.

考虑如何 check.

我们二分到一个 $mid$ 作为 $ls{t}_i$, 那么需要:

$$\text{exist}k,stat.i-mid\le s_k,\underset{j=mid+1}{\overset{i}{max}}{a}_j\le p_k.$$

抽象出来, 现在有 $m$ 个点 $(x_i,y_i)$, 每次询问给一个点 $(x_0,y_0)$, 请你回答是否存在点 $k$ 使得 $x_k\ge x_0,y_k\ge y_0$.

维护一个横坐标递增, 纵坐标递减的链, 找到第一个横坐标能够包住 $x_0$ 的, 看看 $y_k$ 是否能包住 $y_0$.

这个链用单调栈即可.

二分套二分, 复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$.

E The Contest

发现操作数等于初始时不在指定位置的元素数量.

我们钦定结束时 $A$ 掌管 $[1,l)$ , $B$ 掌管 $[l,r)$, $C$ 掌管 $[r,n]$, 其中 $[1\le l\le r\le n+1]$.

根据上面的理论, 则有:

$$ans=\sum _{a\in A}[a\ge l]+\sum _{a\in B}[a<l]+\sum _{a\in B}[a\ge r]+\sum _{a\in C}[a<r]$$

这样, 答案就拆成了 $ans=f_l+g_r$ 的形式, 可以拆开算了.

先用差分优化区间加来求出来 $f$ 和 $g$, 然后考虑, 我们枚举 $l$ 的值, $r$ 的唯一约束是 $r\ge l$, 因此:

$$ans=\underset{l=1}{\overset{n+1}{min}}(f_l+\underset{r=l}{\overset{n+1}{min}}{g}_r)$$

$g$ 用后缀和即可.

F Make Them Similar

发现前面一半和后面一半的二进制位是独立的, 可以前后分开搜两边.

设对于一个 $x$ 来说, 前一半二进制位得到的 popcount 是 $a_i$, 后一半是 $b_i$, 那么有:

$$\begin{gathered} a_1+b_1=a_2+b_2=a_3+b_3\dots \\ \to \mathrm{\forall }k,a_1-a_k=b_k-b_1 \end{gathered}$$

这可以转化为一个字符串相等的问题. 用 hash 维护, 然后把两边搜出来的东西查看 hash 是否有一致的.

G Divisor Set

对于一个集合 $A$, 寻找它的一个最大子集族 $\mathcal{F}$ 使得其中任意两个集合互不包含, 那么 $|\mathcal{F}|=(\genfrac{}{}{0ex}{}{|A|}{\lfloor \frac{|A|}{2}\rfloor })$.

首先, 容易构造这样一个方案, 充分性显然.

下证必要性:

对 $F$ 中的每一个元素 $S$ , 把 $S$ 的全排列 和 $A/S$ 的全排列做组合, 有 $|S|!(|A|-|S|)!$ 种方案.

把所有的 $S$ 得到的结果拼到一起, 得到一个排列, 由于 $F$ 中的元素互不包含, 那么序列是不重的, 则有下面的式子:

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^t{s}_i!(n-s_i)!\le n! \\ \to 1\ge \sum _{i=1}^t\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s_i})}\ge \sum _{i=1}^t\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor })}=\frac{t}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor })} \\ \to t\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }) \end{gathered}$$

这个结论对于数字一样成立, 证明特别复杂 不会

求方案数相当于你现在有 $k$ 种物品, 每种物品有 $s_i$ 个, 满足 $\sum _{i=1}^k{s}_i=n$, 请你选出 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 个.

这个问题相当于一个背包, 而背包就等价于卷积. 我们设 $F_i(x)=\sum _{k=0}^{s_i}{x}^k$, 答案即为 $[\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ]\prod _{i=1}^k{F}_i(x)$, 现在的问题是怎么快速的求出来所有的多项式乘起来.

实际上是好做的, 每次考虑用前面一半的结果和后面一般的结果做 NTT 即可, 递归的去做, 每一层的复杂度单 log, 有 log 层, 因此总复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$.