CF 1339 题解

CF 1339 题解

A Filling Diamonds

设 $f_i$ 表示 $n=i$ 时的答案.

若最左边两个格子竖着放一个菱形, 这意味着后面都只能横着放菱形铺满, 仅有 $1$ 种方案;

若最左边两个格子横着放, 剩下的部分会构成一个子问题. 有 $f_{i-1}$ 种方案.

综上, $f_i=f_{i-1}+1,f_1=1$, 则有 $f_i=i.$

B Sorted Adjacent Differences

考虑把原序列排序后折半, 穿插起来.

若排序后序列为 $a_1,a_2,\dots a_n$,

则考虑构造 $a_{\lceil \frac{n}{2}\rceil },a_{\lceil \frac{n}{2}\rceil +1},a_{\lceil \frac{n}{2}\rceil -1},a_{\lceil \frac{n}{2}\rceil +2},a_{\lceil \frac{n}{2}\rceil -2},\dots ,a_n,a_1$, 正确性显然.

C Powered Addition

发现各个数字之间操作独立, 贡献独立, 因此考虑贪心, 把每个数字抬升到它对应的前缀最大值一定最优.

D Edge Weight Assignment

首先考虑最小化.

钦定任意一个非叶节点为根.

答案为 $1$ 当且仅当所有叶节点高度层奇偶一致.

答案上界为 $3$, 下面是构造性证明:

考虑将奇数层叶节点的父边赋值为 $1$ , 偶数层赋值为 $2$ , 其余赋值为 $3$. 这不难发现是一种合法的构造.

注意到当叶子奇偶不同时, 无法构造使得答案为 $2$, 因为 两个数异或为 $0$ 意味着这两个数相等.

接下来考虑上界.

若多个叶节点连接一个父亲, 则他们的父边权一致.

由于值域无限大, 总能存在其他边权互不相同的构造.

E Perfect Triples

一道找规律题.

$$\begin{gathered} 1,2,3, \\ 4,8,12,5,10,15,6,11,13,7,9,14, \\ 16,32,48,17,34,51,18,35,49,19,33,50,20,40,60,21,42,63,22,43,61,23,41,62,24,44,52,\cdots \end{gathered}$$

注意到第一行的数填满 $1,2,3$ , 前两行填满 $[1,15]$, 前三行填满了 $[1,63]$.

但是看不出来进一步规律, 考虑把 $a,b,c$ 分别拿出来.

$a$ 的表如下:

$$1,4,5,6,7,16,17,18,19,20,21,22,23,24,\dots$$

发现只剩下了每个 $[2^{2k},2^{2k+1}-1],k\in \mathbb{N}$ 中的数.

$b$ 的表如下:

$$2,8,10,11,9,32,34,18,\dots$$

没啥规律, 我们把一行里面的 $b$ 单独拎出来, 并且和第一个 $b$ 做差量处理, 并用二进制表示:

$$\begin{gathered} 000000 \\ 000010 \\ 000011 \\ 000001 \\ 001000 \\ 001010 \\ 001011 \\ 001001 \\ 001100 \\ 001110 \\ 001111 \\ 001101 \\ 000100 \\ 000110 \\ 000111 \\ 000101 \end{gathered}$$

从低向高每两位都有相同的循环节, 去找到周期就可以了,

$c$ 的规律不需要寻找, 使用 $a\oplus b$ 即可.