CF1802 题解

CF1802 题解

A likes

最大值一定是一个前缀全部关注, 一个后缀全部取关.

最小值一定是一个前缀关注完立刻取关, 后面全部是关注.

模拟即可.

B Settlement of Guinea Pigs

那些未确定性别的只能每个单独占一个笼子, 其他的需要我们去分配.

如果有 $m$ 个松鼠被确定性别了, 其中 $k$ 个是男性, 那么需要 $\lceil \frac{k}{2}\rceil +\lceil \frac{n-k}{2}\rceil$ 个笼子, 对 $m,k$ 奇偶分讨即取最大值得答案.

C The Very Beautiful Blanket

由题意得, $a_{i,j}\oplus a_{i+1,j}\oplus a_{i,j+1}\oplus a_{i+1,j+1}=f_{imod2,jmod2}$ 只有 $4$ 种取值, 观察样例发现有数字重复的概率不大, (并且大概率与位运算有关 ps: 正解确实是位运算). 这样的话, 我们只要构造出第一行和第一列的 $a$ , 并且决策出 $f$ 的四个值就可以唯一确定整个 $a$ 矩阵.

如何决策呢? 发现重复的概率并不高, 直接在允许的值域内随机即可.

D Buying gifts

有 $n$ 个物品 $(a_i,b_i)$ , 需要选择两个不同物品 $x,y$ , 使得其他的物品要么 $a_i<a_x$ , 要么 $b_i<b_y$ , 使得 $|a_x-b_y|$ 最小.

把它画到二维平面上, 就意味着我们要用两个半平面覆盖所有特殊点, 如图所示.

我们枚举 $x$ (也就是蓝点), 他会覆盖他左边的所有点, 那要想覆盖其他的点, 这个点的 $b$ 就不能小于右侧红点的 $b$ (也就是说所有红色点都是合法决策点).

这样的话, 我们用 set 维护左边的所有点的 $b_i$, 在合法范围内 (高于右侧红点) 寻找最接近于 $a_i$ 的即可.

注意有 $a_i$ 相同时的边界情况.

E Music Festival

我们考虑动态规划, 每一段数列能成为最大值的数的个数是有限的, 比如 $[1,3,2,4,5]$ 的可能就只有 $[1,3,4,5],[3,4,5],[4,5],[5]$ 总共 $4$ 种.

所有可能的这样的序列个数不会很多, 这个数$cnt\le \sum n_i\le 2\times {10}^5$.

发现我们只关心每一个可能段的最小值 $l_i$ , 最大值 $r_i$ , 长度 $w_i$, 因此我们可以把所有的这样的序列收集起来, 按照 $l_i$ 排序, 再用动态规划去模拟拼接的过程.

$$f_i=\underset{j<i\wedge r_j<l_i>}{max}(f_j)+w_i$$

这是个类似于二维偏序的 dp , 用 BIT 维护即可.

F The way home

我们发现, 最优策略形如在一个地方 $x_i$ 一直赚钱, 跑路, 在另一个地方 $x_{i+1}$ 一直赚钱, 跑路...

其中满足 $c_{x_1}<c_{x_2}<\cdots <c_{x_k}$

这是因为如果后面的 $c$ 更小, 那么把这次赚的钱放到前面去赚只要更少的次数就能完成, 更优.

这样, 我们设 $f_{u,best}$ 表示目前走到 $u$ , 上一次赚钱是在 $best$ 的最优策略.

一个最优策略用一个二元组表示 $(t_i,r{e}_i)$ 表示目前赚钱 $t_i$ 次, 剩余 $r{e}_i$ 块钱.

但是无法比较二元组之间的优劣怎么办?

我们发现贪心的先保证 $t_i$ 更小, 再保证 $r{e}_i$ 最大一定更优.

为什么呢? 因为所有方案 $r{e}_i$ 都会小于 $c_{best}$ (如果大于等于那就可以少赚一次钱.), 那么 $t_i$ 小的方案就可以再演出一次得到方案 $(t_i+1,r{e}_i+c_{best})$ , 这个二元组会完爆掉 $t_i$ 较大的方案, 因此贪心是对的.

这个转移只会从 $t_i$ 小的转移向 $t_i$ 大的, 因此用类似于 dijkstra 的方式转移即可.

G Gasoline prices

快跑啊孩子, 这题卡常

我们用并查集去维护相等关系, 然后每一个不一定相等的元素决策, 乘法原理即可.

我们发现有效的相等关系连边只会有 $n-1$ 次(树的边数是 $n-1$ ), 这样, 问题转化为如何快速找到有效的连边位置.

我们发现, 对于一次链操作, 我们把每个点的点权看成他的并查集代表元, 如果一个前缀链都是无效的, 那么前缀链的权值连起来形成的串是一样的.

那么我们只要每次都二分+哈希去做就可以了, 维护哈希用树剖就可以了.

最后的问题是一次 merge 好多个点的点权都会变, 怎么办呢? 启发式合并! 两个 log 就做完了.