容斥原理初步

容斥原理

1.容斥原理

容斥原理用来解决求解$|\bigcup _{i=1}^n{A}_i|$的问题.

具体的,定义$U=\{i|i\in \mathbb{Z},i\in [1,n]\}$,我们有公式:

$$|\bigcup _{i=1}^n{A}_i|=\sum _{S\in U}(-1{)}^{|S|+1}|\bigcap _{i\in S}{A}_i|$$

由公式形式也不难观察到容斥原理可以化并为交.

2.欧拉函数

欧拉函数$\phi (n)=\mathrm{\#}|\{x|x\perp n\}|$,若$n=\prod _{i=1}^n{p}_i^{k_i}$,则小于等于$n$中与$n$不互质的数是$p_1$或$p_2$...或$p_n$的倍数,为统计倍数的数量,设$f(i)=\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$,由于是"或"的关系,我们考虑化并为交.更具体的,举个例子,求$\phi (12)$,则为$2$或$3$的倍数,根据容斥原理则为$f(2)+f(3)-f(6)$.为了确定符号,我们引入莫比乌斯函数$\mu (x)$,其定义为:

$$\mu (x)=\{\begin{array}{l}1x=1\\ 0\text{x含有平方因子}\\ (-1{)}^k\text{k为x中本质不同的质因子数量}\end{array}$$

当我们发现容斥式子中所有的$f(i)$中$i$均不含平方因子,即这个$i$对答案并没有贡献,系数为零,因此:

$$n-\phi (n)=n+\sum _{d|n}-\mu (d)f(d)=n+-n\sum _{d|n}\mu (d)\frac{1}{d}$$

$$\phi (n)=n\sum _{d|n}\mu (d)\frac{1}{d}$$

我们考虑这个式子如何化简,我们发现$d$含有平方因子时对答案没有贡献,因此若$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{k_i}$,则$d=\prod _{i=1}^k{p}_i^{m_i},m_i\in \{0,1\}$,而此时由于$\mu (d)$当$d$中含有偶数个质数时为$1$,奇数个质数时为$-1$,那么我们发现这个系数分布与$\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$是一致的----枚举每一个可能的质数乘积,偶数质数为正,奇数质数为负,甚至连$+1$都一模一样,因此我们有结论:

$$\phi (n)=n(1+\sum _{d|n}\mu (d)\frac{1}{d})=n\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$$

至此,我们推出了欧拉函数的定义式.

3.莫比乌斯反演

我们研究上文所提到的$\mu (x)$的性质,发现当$x>1$时有:

$$\sum _{d|x}\mu (d)=0$$

如何证明呢?根据上文欧拉函数定义式的证明,我们已经深刻认识到了$\mu (x)$所对应的容斥原理系数的性质----奇数为负,偶数为正.因此我们尝试构造上述求和式有实际意义的场景.我们假设每个质数$p_i$对应一个集合$A_i$,而对于一个合数$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{k_i}$,$A_n=\bigcap _{i=1}^k{A}_i$.我们发现在容斥原理公式中,奇数个质数系数应为$1$,而偶数个质数的乘积应为$-1$,这与$\mu (x)$是相反的.因此根据容斥原理,$|\bigcup _{i=1}^k{A}_i|$可用如下式子表示:

$$-\sum _{d|x}\mu (d)|A_d|$$

但上面的式子有一个问题:我们在容斥求并集时,并没有定义$A_1$,因此我们应该将额外的$-\mu (1)$加回来.

综上所述,我们有公式

$$|\bigcup _{i=1}^k{A}_i|=\mu (1)-\sum _{d|x}\mu (d)|A_d|$$

这时,我们发现离目标已经不远了,我们只需要构造$A_i$即可,我们发现,只要让所有的$|A_i|=\{0\}$,此时所有的$A$都有且仅有同一个元素$0$,因此它们的并集也为$0$,因此上述所有集合的大小均为$1$,与$\phi (1)=1$一同代入上式可得:

$$1=1-\sum _{d|x}\mu (d)$$

$$\sum _{d|x}\mu (d)=0(x>1)$$

证毕.

另外,特殊的,我们发现$\mu (1)=1$,因此有性质:

$$\sum _{d|x}\mu (d)=1$$

当且仅当$x=1$成立.

下面来看莫比乌斯反演如何证明.

莫比乌斯反演:若$f(x)=\sum _{d|x}g(d)$,则有$g(x)=\sum _{d|x}\mu (\frac{x}{d})f(d)$.

我们尝试将条件式代入右式,发现有:

$$\sum _{d|x}\mu (\frac{x}{d})f(d)=\sum _{d|x}\mu (\frac{x}{d})\sum _{k|d}g(k)$$

我们考虑每一个$g(x)$对总答案的贡献,发现每一个满足$mk|x$的二元组$(m,k)$对答案都有$g(k)\phi (m)$的贡献,更换求和顺序,有:

$$\sum _{d|x}\mu (\frac{x}{d})f(d)=\sum _{k|x}g(k)\sum _{m|(x/k)}\mu (m)$$

由于上面我们证出的性质,$\frac{x}{k}\ne 1$时,$\sum _{m|(x/k)}\mu (m)=0$,因此对所有$k\ne x$,$k$对答案都没有贡献,只需令$k=x$即可.因此有:

$$\sum _{d|x}\mu (\frac{x}{d})f(d)=\sum _{k|x}g(k)\sum _{m|(x/k)}\mu (m)=g(x)$$

即证.

4.小结

容斥定理有化并为交的功能,在许多情况下,一些有性质的集合做交集仍有很好的性质,而作并集就会变得乱七八糟.举个例子,$A=\{d|d=2k,k\in \mathbb{Z}\},B=\{d|d=3k,k\in \mathbb{Z}\}$,这时就有$A\cap B=\{d|d=6k,k\in \mathbb{Z}\}$,这与$A,B$的形式是一致的.我们利用这样的性质,化并为交地求出了欧拉函数的定义式.另外的,我们发现莫比乌斯函数$\phi (x)$与容斥原理有千丝万缕的联系,因此考虑其实际意义,找到这个函数的性质,进而证明了莫比乌斯反演.